A B C H D E

a, Ta có : 

^C = 45⁰ ( t/c tam giác vuông cân : mỗi góc nhọn đều bằng 45⁰ ) (*)

Lại có : Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó 

Mà : ^BDH = 90⁰ => ^HDA + ^BDH = ^DBA => ^HDA = ^DBA - ^BDH = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

Suy ra : ^ADE = ^HDE = ^HDA/2 = 90⁰/2 = 45⁰ (**)

tỪ (*); (**) TA CÓ ĐPCM 

A B C I J

Vì I là trung điểm BA

J là trung điểm BC 

=> IJ là đường trung bình tam giác ABC 

                           A B C D E F

Xét \(\Delta ABC\)có: D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC

\(\Rightarrow\)DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DE=\frac{1}{2}.BC=\frac{1}{2}.14=7\left(cm\right)\)

Tương tự ta có:

DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow DF=\frac{1}{2}.AC=\frac{1}{2}.10=5\left(cm\right)\)

EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow EF=\frac{1}{2}.AB=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)\)

Vậy \(DE=7cm\), \(DF=5cm\), \(EF=3cm\)

                             A B C D E F

Xét hình thang ABCD có :

AE = ED (gt)

BF = FC (gt)

\(\Rightarrow\)EF là đường trung bình của hình thang ABCD

\(\Rightarrow EF=\frac{AB+CD}{2}\)

\(EF=\frac{4+7}{2}\)

\(EF=\frac{11}{2}\)

\(EF=5,5\left(cm\right)\)

Vậy EF = 5,5cm

A B C M N

Ta có tam giác ABC có M là trung điểm AB (*)

N là trung điểm của AC (**)

Suy ra MN là đường trung bình tam giác ABC 

Do đó : MN // BC => MN = BC/2 = 4/2 = 2 cm 

Vậy MN = 2cm

                                A B C M N

Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}.BC=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)\)

Vậy \(MN=2cm\)

Ta có 5^x = ...5

=> 5^x + 48 = ...3

mà chữ số tận cùng của y² luôn khác 2;3;7;8 (với mọi y nguyên dương)

=> Không tồn tại x;y sao cho 5^x + 48 = y²

Ta có: \(\left(-a-b\right)^2\)

\(=\left[-\left(a+b\right)\right]^2\)

\(=\left(a+b\right)^2\)

\(\left(-a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2\)

\(VT=\left[-\left(a+b\right)^2\right]\)

\(=\left(a+b\right)^2=VP\)

a, b, c đôi một khác nhau => a ≠ b ≠ c

a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

<=> ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

<=> [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² + 2ab - ac - bc ) - 3ab( a + b + c ) = 0

<=> ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - ac - bc ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)

I) \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}-a=b+c\\-b=a+c\\-c=a+b\end{cases}}\)

Xét các mẫu thức ta có :

1) a² + b² - c² = a² + ( b - c )( b + c ) = a² - a( b + c ) = a² - ab + ac = a( a - b + c ) = a( a + b + c - 2b ) = -2ab

TT : b² + c² - a² = -2bc

       c² + a² - b² = -2ac

Thế vô A ta được :

\(A=\frac{-1}{2ab}+\frac{-1}{2bc}+\frac{-1}{2ac}=\frac{-c}{2abc}+\frac{-a}{2abc}+\frac{-b}{2abc}=\frac{-\left(a+b+c\right)}{2abc}=0\)

II) a² + b² + c² - ab - ac - ab = 0

<=> 2(a² + b² + c² - ab - ac - ab) = 2.0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2ab = 0

<=> ( a - b )² + ( b - c )² + ( c - a )² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)( trái với đề bài )

=> A = 0

d) 99² + 1 + 198 = 99² + 2.99.1 + 1² = ( 99 + 1 )² = 100² = 10 000

e) 26.34 = ( 30 - 4 )( 30 + 4 ) = 30² - 4² = 900 - 16 = 884

g) 95.105 = ( 100 - 5 )( 100 + 5 ) = 100² - 5² = 10 000 - 25 = 9975

h) 29.31 = ( 30 - 1 )( 30 + 1 ) = 30² - 1² = 900 - 1 = 899

Ta có: \(2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=4\Rightarrow8a^4+a^2b^2+4=16a^2\Rightarrow a^2b^2=-8a^4+16a^2-4=-8\left(a^4-2a^2+1\right)+4=-8\left(a^2-1\right)^2+4\le4\)\(\Rightarrow\left|ab\right|\le2\Rightarrow-2\le ab\le2\)

Vậy MaxS = 2023 khi ab = 2 và a² = 1 do đó \(\left(a,b\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right)\right\}\)

MinS = 2019 khi ab = -2 và a² = 1 do đó \(\left(a,b\right)\in\left\{\left(-1;2\right);\left(1;-2\right)\right\}\)