a ) xy + 1 - x - y

= x ( y - 1 ) + 1 - y

= x ( y - 1 ) - ( y - 1 )

= ( x - 1 ) ( y - 1 )

b ) x² + ab + ac + bx

= ( b + x )x + a( b + c )

= ( b + x )1x + 1a( b + c )

= ( b + x ) ( x + a ) ( b + c )

c ) ax + bx - cx + a + b - c

= ( a + b - c )x + a + b - c

= ( a + b - c )x + ( a + b - c )1

= ( a + b - c ) ( x + 1 )

Gọi I là giao điểm của BC và MD

Vì MBDC là hình bình hành 

\(\Rightarrow IB=IC\)

Gọi K là giao điểm của AD và ME

Vì MAED là hình bình hành 

\(\Rightarrow KD=KA\)

Xét \(\Delta AMD\)có MK và AI là các đường trung tuyến

=> G là trọng tâm của \(\Delta AMD\)( G là giao điểm của MK và AI )

\(\Rightarrow GI=\frac{1}{3}AI\)

=> AI là đường trung tuyến của tam giác ABC 

Mà \(GI=\frac{1}{3}AI\)

Nên G là trong tâm của tam giác ABC

=> G là điểm cố định

Vậy khi M di động thì đương thẳng ME luôn đi qua  điểm G cố định

A B C M D E I G K

1. Ta có: \(ab+bc+ca=3abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=m\\\frac{1}{b}=n\\\frac{1}{c}=p\end{cases}}\) khi đó \(\hept{\begin{cases}m+n+p=3\\M=2\left(m^2+n^2+p^2\right)+mnp\end{cases}}\)

Áp dụng Cauchy ta được:

\(\left(m+n-p\right)\left(m-n+p\right)\le\left(\frac{m+n-p+m-n+p}{2}\right)^2=m^2\)

\(\left(n+p-m\right)\left(n+m-p\right)\le n^2\)

\(\left(p-n+m\right)\left(p-m+n\right)\le p^2\)

\(\Rightarrow\left(m+n-p\right)\left(n+p-m\right)\left(p+m-n\right)\le mnp\)

\(\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\ge m^2n+mn^2+n^2p+np^2+p^2m+pm^2\)

\(\Leftrightarrow\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-pm\right)+6mnp\ge mn\left(m-n\right)+np\left(n-p\right)+pm\left(p-m\right)\)

\(=mn\left(3-p\right)+np\left(3-m\right)+pm\left(3-n\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)-3\left(mn+np+pm\right)+6mnp\ge3\left(mn+np+pm\right)-3mnp\)

\(\Leftrightarrow3\left(m^2+n^2+p^2\right)+9mnp\ge6\left(mn+np+pm\right)\)

\(\Leftrightarrow xyz\ge\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)

\(\Rightarrow M\ge2\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)-\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)\)

\(=\frac{5}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{2}{3}\left(mn+np+pm\right)\)

\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm\right)\)

\(=\frac{4}{3}\left(m^2+n^2+p^2\right)+\frac{1}{3}\left(m+n+p\right)^2\)

\(\ge\frac{4}{3}\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3^2=4+3=7\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(m=n=p=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)