Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(-6x^2+7x+2=0\)
\(\Delta=49+48=97\)
\(x_1=\frac{-7-\sqrt{97}}{-12};x_2=\frac{-7+\sqrt{97}}{-12}\)
Câu 4a:
Ta có:
\(A=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(A=1\cdot\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(A=a^2-ab+b^2\)
\(A=\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab\)
Mà \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow-3ab\ge-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\)
\(=1^2-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=\frac{1}{2}\)
Câu 4b:
Ta có: \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{\left(a^2+1\right)-a^2}{a^2+1}==1-\frac{a^2}{a^2+1}\)
\(\ge1-\frac{a^2}{2\sqrt{a^2\cdot1}}=1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\left(Cauchy\right)\)
Tương tự CM được: \(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2}\) ; \(\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\(\Sigma_{cyc}\sqrt{a+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{a+b^2}{\sqrt{a+b^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a+b^2\right)}{\left(a+b\right)\sqrt{a+b^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2+a+b^2}\)
\(=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a\left(a+b+c\right)+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2+a\left(a+b+c\right)+b^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab+ac\right)}{2a^2+2b^2+3ab+ac}\)
Như thế ta chỉ cần chứng minh
\(\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2+ab+ac\right)}{2a^2+2b^2+3ab+ac}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^5b^2+\Sigma_{cyc}a^4b^2c+2\Sigma_{cyc}a^5bc\ge2\Sigma_{cyc}a^3b^3c+2\Sigma_{cyc}a^3b^3c^2\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{19}{6}a^5b^2+\frac{4}{19}b^5c^2+\frac{6}{19}c^5a^2-a^3b^2c^2\right)+abc\left(\Sigma_{cyc}a^3b-\Sigma_{cyc}a^2bc\right)+2abc\)\(\left(\Sigma_{cyc}a^4-\Sigma_{cyc}a^2b^2\right)\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)Hoặc \(a=1,b=c=0\) Và các hoán vị
\(4x^3+2x^2+x=7\Leftrightarrow4x^3+2x^2+x-7=0\)
\(\Leftrightarrow4x^3-4x^2+6x^2-6x+7x-7=0\) ( chỗ này xét nghiệm sao cho BT =0 nhé !)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^2+6x+7\right)=0\Leftrightarrow x=1\)
\(4x^3+2x^2+x=7\)
\(\Leftrightarrow4x^3+2x^2+x-7=0\)
\(\Leftrightarrow4x^3-4x^2+6x^2-6x+7x-7=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^3-4x^2\right)+\left(6x^2-6x\right)+\left(7x-7\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2.\left(x-1\right)+6x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^2+6x+7\right)=0\)(1)
Ta có: \(4x^2+6x+7=\left(2x\right)^2+2.\frac{3}{2}.2x+\frac{9}{4}+\frac{19}{4}\)
\(=\left(2x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)
Vì \(\left(2x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\left(2x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\)
\(\Rightarrow4x^2+6x+7>0\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy \(x=1\)
\(\left(x+3\right)^2-25=\left(x+3\right)^2-5^2\)
\(=\left(x+3-5\right)\left(x+3+5\right)=\left(x-2\right)\left(x+8\right)\)
a. x2 - 2x - 3 = 0
<=> ( x2 + x ) - ( 3x + 3 ) = 0
<=> x ( x + 1 ) - 3 ( x + 1 ) = 0
<=> ( x - 3 ) ( x + 1 ) = 0
<=> x = 3 hoặc x = - 1
b. 2x2 - 3 + 5x = 0
<=> 2 ( x2 + 5/2x - 3/2 ) = 0
<=> ( x2 + 5/2x + 25/16 ) - 49/16 = 0
<=> ( x + 5/4 )2 = 49/16
<=>\(\orbr{\begin{cases}x+\frac{5}{4}=\frac{7}{4}\\x+\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}\end{cases}}\)<=>\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=-3\end{cases}}\)
a) \(x^2-2x-3=0\)
\(x^2-2x+1-4=0\)
\(\left(x-1\right)^2-4=0\)
\(\left(x-1-2\right)\left(x-1+2\right)=0\)
\(\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+1=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)
b) \(2x^2-3+5x=0\)
\(2x^2-3+6x-x=0\)
\(\left(2x^2+6x\right)-\left(3+x\right)=0\)
\(2x\left(x+3\right)-\left(3+x\right)=0\)
\(\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=0\\2x-1=0\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)