Sau khi phân tích thì đa thức có dạng ( x² + ax + 1 )( x³ + bx² + cx + 1 )

=> x⁵ + x + 1 = ( x² + ax + 1 )( x³ + bx² + cx + 1 )

=> x⁵ + x + 1 = x⁵ + bx⁴ + cx³ + x² + ax⁴ + abx³ + acx² + ax + x³ + bx² + cx + 1

=> x⁵ + x + 1 = x⁵ + ( a + b )x⁴ + ( ab + c + 1 )x³ + ( ac + b + 1 )x² + ( c + a )x + 1

Đồng nhất hệ số ta có :

a + b = 0 ; ab + c + 1 = 0 ; ac + b  + 1 = 0 ; c + a = 1

Giải hệ này ta được : a = 1 ; b = -1 ; c = 0

=> x⁵ + x + 1 = ( x² + x + 1 )( x³ - x² + 1 )

\(x^5+x+1=\left(x^5-x^2\right)+\left(x+x^2+1\right)=x^2\left(x^3-1\right)+\left(x^2+x+1\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(+\left(x^2+x+1\right)=\left(x^2+x+1\right)\left(x^3-x^2+1\right)\)

Chỉnh lại đề bài : Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = \(\frac{1}{3}\)BD, trên tia đối của tia EC lấy điểm H sao cho EH = \(\frac{1}{3}\)CE. Chứng minh tứ giác BCFH là hình chữ nhật.

Trả lời : 

*Tự phác hình nhé bạn

Ta có \(\Delta ABC\)cân => AB = AC

Có AB = AC, D là trung điểm AC (gt) => AD = DC, E là trung điểm AB => AE = EB

Mà AD + DC = AC, AE + EB = AB

=> AD = AE

Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACE\)có : AB = AC (gt), \(\widehat{A}\)chung, AD = AE (cmt)

=> \(\Delta ABD\)= \(\Delta ACE\)(c.g.c)

Mặt khác, G là trọng tâm => \(GD=\frac{1}{3}BD,GE=\frac{1}{3}CE\)

=> GF = GB = GC = GH

Tứ giác BCFH có 2 đường chéo BF và CH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => BCFH là hình bình hành

Lại HG + GC = BG + GF hay HC = BF => Hình bình hành BCFH có 2 đường chéo bằng nhau

=> BCFH là hình chữ nhật.

*Trình bày hơi lủng củng, mong bạn bỏ qua.

A B C D M F E

a, Ta có :

 \(BC^2=AB^2+AC^2=12^2+16^2=400\Leftrightarrow BC=20\)cm 

b, Xét tam giác ABC 

D là trung điểm AB 

M là trung điểm AC 

=)) DM là đường TB tam giác ABC 

=)) DM // AC hay DM // AF 

=)) Tứ giác ADMF là hình bình hành 

Mà ^A = 90^0 

Vậy tứ giác ADMF là hình chữ nhật 

\(\left(x+2\right)^2-\left(x+3\right)\left(x-3\right)+1=x^2+4x+4-\left(x^2-9\right)+1\)

\(=x^2+4x+5-x^2+9=4x+14\)

\(4x^3-4x^2+x=x\left(4x^2-4x+1\right)=x\left(2x-1\right)^2\)

Đặt \(x\left(2x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\2x-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

A B C D E H M P Q F O N K

a) ta có: H đối xứng với P qua BC mà D là giao điểm của AH và BC 

suy ra                                              D là trung điểm HP.

lại có: Q đối xứng với H qua M => M là trung điểm QH

suy ra: DM là đường trung bình tam giác HPQ

=> DM // PQ hay BC // PQ.

=> DMQP là hình thang.

lại có: \(\widehat{MDP}=90^o\)(do AD\(\perp\)BC)

=> DNQP là hình thang vuông.

b) tứ giác HCQB có M là trung điểm BC (gt)

                                M là trung điểm HQ (cmt)

=> HCQB là hình bình hành.

Kéo dài CH cắt AB tại F.

Ta có H là trực tâm tam giác ABC => AH\(\perp\)AB hay AF\(\perp\)AB.

có: HCQB là hình bình hành => \(\widehat{BCQ}=\widehat{EBC}\)(slt) và \(\widehat{CBQ}=\widehat{FCB}\)(slt)

 \(\widehat{ACQ}=\widehat{ACB}+\widehat{BCQ}=\widehat{ACB}+\widehat{EBC}=90^o\)(tam giác BCE vuông tại E)

\(\widehat{ABQ}=\widehat{ABC}+\widehat{CBQ}=\widehat{ABC}+\widehat{FCB}=90^o\)(tam giác FCB vuông tại F)

c) gọi N là giao điểm của ON và AC => ON vuông góc AC tại N.

lại có tam giác AOC cân tại O (O là giao điểm các trung trực của tam giác ABC)

=> tam giác AOC cân tại O có đường cao ON đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh AC

=> N là trung điểm AC

mà ON // CQ (cùng vuông góc với AC) => O là trung điểm AQ (định lí đường trung bình trong tam giác)

=> AO = OQ (1)

Có OM\(\perp\)BC mà BC // PQ => \(OM\perp PQ\)

gọi K là trung điểm PQ, ta có \(DM=\frac{1}{2}PQ=PK=KQ\)(do DM là đường trung bình tam giác HPQ)

=> 3 điểm O,M,K thẳng hàng.

Tam giác OPQ có đường cao OK đồng thời là đường trung tuyến => tam giác OPQ cân tại O => OP = OQ (2)

lại có: OA = OB = OC (O là giao điểm 3 trung trực tam giác ABC) (3)

từ (1), (2) và (3) => OA = OB = OC = OP = OQ 

=> O cách đều 5 điểm A,B,C,P,Q.

Bạn ơi cho mình sửa xíu ạ, mình có viết nhầm vài chỗ :D

câu a) dòng thứ 8, DMQP chứ không phải là DNQP nhé.

câu b) dòng thứ 5, "\(AH\perp AB\)hay \(AF\perp AB\)" sửa lại thành "\(CH\perp AB\)hay \(CF\perp AB\)"