Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng 3.  Chứng minh rằng

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge3\).

Cho a, b  là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

1)  \(a^2-ab+b^2\ge0\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

2) \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\). Khi nào xảy ra đẳng thức?

Cho ba số \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện  \(z\ge y\ge x\ge0\). Chứng minh rẳng

     \(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)

Biết rằng 200g dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch để được dung dịch chứa 20% muối?

Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong hợp kim đó lượng đồng đã giảm đi 30% . Tính khối lượng ban đầu của hợp kim.

Tìm hai số biết rằng bốn lần số thứ nhất cộng với năm lần số thứ hai bằng 2142 và sáu lần số thứ hai hơn 4 lần số thứ nhất là 960.

Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng các chữ số của nó nhỏ hơn nó 6 lần. Nếu thêm 25 vào tích hai chữ số thì ta được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng là 21 và tổng hai bình phương là 261.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $CDEF$ là tứ giác nội tiếp.