A E B C O D

Ta có AB,AC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC,AO\perp CB\)

\(\Rightarrow ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính AO (1)

Vì \(BD\perp BC\Rightarrow AO//DE\left(\perp BC\right)\Rightarrow\widehat{DBC}=90^0\) = > CD là đường kính của (O) 

Mà \(EO\perp CD,BC\perp DE\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{EOC}=90^0\)

\(\Rightarrow ECOB\) nội tiếp (2) 

Từ (1) , (2) \(\Rightarrow A,E,B,O,C\)  nội tiếp đường tròn đường kính AO

\(\Rightarrow EAOB\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{EAO}+\widehat{EBO}=180^0\)

Mà \(\widehat{EBO}+\widehat{BOA}=180^0\left(BE//AO\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EAO}=\widehat{BOA}\)

\(\Rightarrow AOBE\)  là hình thang cân

nghiệm trái dấu khi a.c<0

2 nghiệm phân biệt thì đenta>0

Áp dụng BĐT Bunhiacopsi ta có:

\(\left(a^3+b\right)\left(\frac{1}{a}+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow a^3+b\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\frac{1}{a}+b}\Rightarrow\frac{1}{a^3+b}\le\frac{\frac{1}{a}+b}{\left(a+b\right)^2}\)

Tương tự \(\frac{1}{a+b^3}\le\frac{\frac{1}{b}+a}{\left(a+b\right)^2}\)

Khi đó \(\frac{1}{a^3+b}+\frac{1}{b^3+a}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow S=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b}{a+b}-\frac{1}{ab}=\frac{a+b+ab\left(a+b\right)-a-b}{ab\left(a+b\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=1

Vậy..................

Bài 1 : 

Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

( xy+yz + zx )(9 + x²y² +z²y² + x²z² ) \(\ge\)36xyz 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 

xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)           ( 1) 

Và 9 + x²y² + z²y² + x²z² \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)

hay 9+ x²y² + z²y²+ x²z² \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\)                (2) 

Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :

( xy + yz +zx )( 9+ x²y² + z²y² + x²z² ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y  =z = 1 

Bài 2: 

\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)

Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Bài 1 : 

Gọi số nữ và số nam thuận tay trái lần lượt là x(người) và y(người).

Khi đó, do tổng số người thuận tay trái là 10 người nên ta có

x+y=10 

Lại có số nữ thuận tay phải gấp 3 lần số nữ thuận tay trái nên số nữ thuận tay phải là 3x(người). Số nam thuận tay phải gấp 5 lần số nam thuận tay trái nên số nam thuận tay phải là 5y(người).

Lại có tổng số người thuận tay phải là 44 nên ta có : 

\(3x+5y=44\)

Vậy ta có hệ

\(\hept{\begin{cases}x+y=10\\3x+5y=44\end{cases}}\)

Suy ra \(x=3,y=7\)

Vậy có 3 nữ thuận tay trái, 7 nam thuận tay trái.

Bài 2 : 

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=27\left(1\right)\\a+b+c=9\left(2\right)\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : 

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\)

\(\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c 

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=81\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=81\)

\(\Rightarrow81\le a^2+b^2+c^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow27\le a^2+b^2+c^2\left(3\right)\)

Từ (1) và (3) => dấu " = " xảy ra => a=b=c=3 

\(\Rightarrow B=\left(3-4\right)^{2018}+\left(3-4\right)^{2019}+\left(3-4\right)^{2020}\)

\(=1-1+1=1\)

Bài 1 : 

Để phương trình có 2 nghiệm x₁ , x₂ 

\(\Rightarrow\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(2m-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow m\le1\)

\(\Rightarrow\) Khi đó phương trình có 2 nghiệm x₁ , x₂ thỏa mãn 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=2m-1\end{cases}}\)

Mà \(3x_1+2x_2=1\Rightarrow x_1+2\left(x_1+x_2\right)=1\Rightarrow x_1+2.2=1\Rightarrow x_1=-3\)

Vì \(x_1=-3\) là 1 nghiệm của phương trình

\(\Rightarrow\left(-3\right)^2-2\left(-3\right)+2m-1=0\Rightarrow m=-7\)

Bài 2 : 

\(ĐKXĐ:x\ne\pm4\)

Ta có : 

\(\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x}=5+\frac{96}{x^2-16}\)

\(\Rightarrow\frac{2x-1}{x+4}+\frac{3x-1}{x-4}=5+\frac{96}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{2x-1}{x+4}\left(x+4\right)\left(x-4\right)+\frac{96}{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}\left(x+4\right)\left(x-4\right)\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)\left(x-4\right)+\left(3x-1\right)\left(x+4\right)=5\left(x+4\right)\left(x-4\right)+96\)

\(\Rightarrow5x^2+2x=5x^2+16\)

\(\Rightarrow2x=16\)

\(\Rightarrow x=8\)