Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Điểm D thuộc cạnh BC .Điểm M chạy trên đoạn AD .Các điểm N,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB;AC.Chứng minh rằng : Đường thẳng qua  N vuông góc với PD luôn đi qua 1 điểm cố định 

Cho tam giác ABC .P là một điểm chuyển động trên BC .Gọi \(O_1,O_2\)lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB ,APC .M là trung điểm của \(O_1O_2\).Chứng minh rằng M chuyển động trên 1 đường thẳng cố định

cho tan a = \(\frac{1}{2}\)

hãy tính \(\frac{\text{cos a +sin a}}{\cos a-\sin a}\)

Cho phương trình

\(x^2+x+m\)=0

Định m để Q=\(x^2_1\left(x_1+1\right)+x^2_2\left(x_2+1\right)\)

đạt giá trị lớn nhất

Cho phương trình

\(x^2+x+m\)=0

Tim m để hệ phương trình (I) có nghiệm x1, x2

Cho phương trình

\(^2x-2mx+2m-1=\)0

Tim m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn

l \(x_1-x_2\)l =16

Cho hệ phương trình

\(\hept{\begin{cases}x=\frac{m+1}{3}y-1\\-mx=y-1\end{cases}}\)

Tim m để hệ phương trình có nghiệm

\(\hept{\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{cases}}\)

Giải các hệ phương trình sau

Cho x,y nguyên dương thỏa \(x^2-4y+1⋮\left(x-2y\right)\left(2y-1\right)\). Chứng minh rằng: \(\text{|}x-2y\text{|}\)là một số chính phương