\(\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}.\left(\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{3}}+\frac{\left(2+\sqrt{2}\right).\left(1-\sqrt{2}\right)}{1-2}-\frac{2+\sqrt{3}}{4-1}\)

\(=\sqrt{3}+2-\left(2-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\right)-\left(2+\sqrt{3}\right)\)

\(=\sqrt{3}+2-\left(-\sqrt{2}\right)-2-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}+2+\sqrt{2}-2-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{2}\)

t nghĩ ngoài SOS ra thì không còn lời giải sơ cấp nào khác, nếu Max = 1, không có Wolfram Alpha cũng không chắc lắm.

 Thử pqr xem nào:

\(P=\frac{ab^2+bc^2+ca^2+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+6}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\frac{1}{2}\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)+4\left(a+b+c\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(\le\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}+\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)+4\left(a+b+c\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2}+\frac{1}{2}\left(pq-3r\right)+4p}{r+2q+4p+8}\le1\)

Có: \(p^2-2q=3\therefore q=\frac{\left(p^2-3\right)}{2}\). Từ đó quy bài toán về chứng minh:

\(\frac{5}{2}r+\frac{\left(14-3p\right)\left(3p+1\right)^2}{108}+\frac{263}{54}\ge\frac{1}{2}\sqrt{-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2}\)

Vì \(0< p=a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\) nên cả 2 vế đều không âm.

Lúc này bất đẳng thức tương đương: 

(Đoạn này gõ Latex, không hiên thì vào thống kê hỏi đáp nhá)

\(\Leftrightarrow f\left(r\right)\ge0\). Mặt khác \(f'\left(r\right)=26r+\frac{\left(-15p+10+2\sqrt{415}\right)\left(15p-10+\sqrt{415}\right)^2}{1350}+\frac{904}{27}-\frac{83\sqrt{415}}{135}>0\)

Nên khi r giảm thi f giảm. Mặt khác do \(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\ge0\)

Nên \(r\ge\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-3q\right)^3}+9pq\right)=\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left\{\frac{\left(9-p^2\right)}{2}\right\}^3}+\frac{9p\left(p^2-3\right)}{2}\right)\)

Vì vậy \(f\left(r\right)\ge f\left(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left\{\frac{\left(9-p^2\right)}{2}\right\}^3}+\frac{9p\left(p^2-3\right)}{2}\right)\right)\ge0\)

Bác Cool Kid chứng minh BĐT 1 biến ở cuối thử xem:v

Chết, cách kia sai rồi, đánh thiếu số 6 hèn gì không ra -_-

\(ĐKXĐ:-4\le x\le4\)

Ta có : 

\(\left(\sqrt{x+4}-2\right)\left(\sqrt{4-x}+2\right)=-2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+4}.\sqrt{4-x}+2\sqrt{x+4}-2\sqrt{4-x}-4+2x=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{16-x^2}+2\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{4-x}\right)+2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{16-x^2}-4\right)+2.\left(\sqrt{x+4}-\sqrt{4-x}\right)+2x=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{16-x^2-16}{\sqrt{16-x^2}+4}+2.\frac{x+4-4+x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}}+2x=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x^2}{\sqrt{16-x^2}+4}+\frac{4x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}}+2x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left[\frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}}+2-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}+4}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x\left[\frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}}+\frac{2\sqrt{16-x^2}+8-x}{\sqrt{16-x^2}+4}\right]=0\)

\(-4\le x\le4\Rightarrow\frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{4-x}}+\frac{2\sqrt{16-x^2}+8-x}{\sqrt{16-x^2}+4}>0\)

=> x =0 

Giúp ạ , mik cần gấp 

bận ròi