Cho (O) đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc OA tại H. a) Tứ giác ACOD là hình gì? Chứng minh tam giác OAC và tam giác CBD là tam giác đềuCho (O) đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc OA tại Ha) tứ giác ACOD là hình j ? vì sao ?b) c/m tam giác OAC và tam giác CBD là tam giác đềuc) Gọi M là trung điểm BC . c/m D, O,M thẳng hàngd) c/m CD^2 = 4AH ....
Đọc tiếp
Cho (O) đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc OA tại H. a) Tứ giác ACOD là hình gì? Chứng minh tam giác OAC và tam giác CBD là tam giác đều
Cho (O) đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc OA tại H
a) tứ giác ACOD là hình j ? vì sao ?
b) c/m tam giác OAC và tam giác CBD là tam giác đều
c) Gọi M là trung điểm BC . c/m D, O,M thẳng hàng
d) c/m CD^2 = 4AH . HB
a) tứ giác ACOD là hình j ? vì sao ?
b) c/m tam giác OAC và tam giác CBD là tam giác đều
c) Gọi M là trung điểm BC . c/m D, O,M thẳng hàng
d) c/m CD^2 = 4AH . HB
a/
Xét \(\Delta OCD\) có
OC=OD (Đều là bán kính (O))
=> tg OCD cân tại O
Ta có \(OH\perp CD\) => OH là đường cao của \(\Delta OCD\)
\(\Rightarrow HC=HD\)(Trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến)
Mà HA=HO (gt)
=> ACOD là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mooic đường là hbh)
Mà \(CD\perp AO\left(gt\right)\)
=> ACOD là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)
b/
Xét tg OAC có
HA=HO (gt) => CH là trung tuyến của tg OAC
\(CH\perp AO\) => CH là đường cao của tg OAC
=> tg OAC cân tại C (tam giác có đường cao, đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)
=> AC=OC mà OC=OA (bán kính (O)) => AC=OC=OA => tg OAC là tg đều
Xét tg CBD có
HC=HD (cmt) => BH là trung tuyến của tg CBD
\(BH\perp CD\) => BH là đường cao của tg CBD
=> tg BCD cân tại B (tam giác có đường cao, đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)
\(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{CDB}\) (góc ở đáy của tg cân)
Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Do tg OAC là tg đều \(\Rightarrow\widehat{CAB}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{CDB}=60^o\Rightarrow\widehat{CBD}=60^o\)
=> tg CBD là tg đều
c/
Xét tg CBD có BH là trung tuyến
\(HO=\frac{AO}{2}=\frac{BO}{2}\) => O là trọng tâm của tg CBD
=> DO là trung tuyến thuộc cạnh BC nên DO phải đi qua M là trung điểm BC => D, O, M thẳng hàng
d/
Ta có
\(HC=HD\Rightarrow HC=\frac{CD}{2}\Rightarrow CD=2.HC\Rightarrow CD^2=4.HC^2\)
Xét tg ABC có \(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tg ABC vuông tại C
Ta có
\(HC^2=AH.HB\) (trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
\(\Rightarrow CD^2=4.HC^2=4.AH.HB\)