DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.
                           

a) Vì \widehat{AEM}=\widehat{AFM}={90}^\circAEM=AFM=90∘ nên A, E, M, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AM \Rightarrow\ \widehat{EIF}=2\widehat{EAF}={120}^\circ⇒ EIF=2EAF=120∘ (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp chắn cung \stackrel\frown{EF}EF⌢).

b) Hạ $IH\perp EF$, ta có IE=IF=\frac{1}{2}AMIE=IF=21​AM nên $\Delta IEF$ cân $\Rightarrow HE=HF$.

Ta lại có: EH=EI.\sin{\widehat{EIH}}=\frac{1}{2}AM.\sin{{60}^\circ}EH=EI.sinEIH=21​AM.sin60∘ (vì \widehat{EIH}=\widehat{FIH}=\frac{1}{2}\widehat{EIF}={60}^\circEIH=FIH=21​EIF=60∘).

Suy ra EH=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{4}\Rightarrow EF=2EH=\frac{a\sqrt3}{2}EH=2a​.23​​=4a3​​⇒EF=2EH=2a3​​.

c) EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất $\iff$ AM $\perp$ BC.

Trả lời:

Tam giác ABC có:

Sin B = AC/BC (hệ thức lượng)

=> AC = Sin B.BC = Sin 45⁰ . 10 = 5√2 (cm)

 Sin C = AB/BC

=> AB = Sin 30⁰ . 10 = 5 (cm)

Ta có tam giác ABC có: góc A + góc B + góc C = 180⁰ 

=> góc A = 180⁰ - 45⁰ - 30⁰ = 105⁰

Tam giác ABC có: Sin B = $\frac{AC}{BC}$ (hệ thức lượng) => AC = Sin B.BC = Sin 45⁰ . 10 = $5\sqrt{2}$ (cm)

 Sin C = $\frac{AB}{BC}$ (hệ thức lượng) => AB = Sin 30⁰ . 10 = 5 (cm)

Ta có tam giác ABC có: góc A + góc B + góc C = 180⁰ (định lý)

=> góc A = 180⁰ - 45⁰ - 30⁰ = 105⁰

DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.
                           

a, Có ∠BAH= ∠BCA (vì cùng phụ với ∠HAC)

=> ∠BAH+ ∠HAD= ∠BCA + ∠DAC (vì AD là tia phân giác ∠HAC)

=> ∠BAD= ∠BCA + ∠DAC 

Xét ΔADC có ∠ADB là góc ngoài tại D => ∠ADB= ∠BCA + ∠DAC 

=> ∠BAD= ∠ADB

=> ΔABD cân tại B

b, Xét ΔABD cân tại B => AB= BD

Xét ΔABC vuông tại A

=> AB²= BH. BC

            = (BD- HD). BC

            = (AB- 6). 25

            = 25 AB- 150

=> AB²- 25AB+ 150= 0

<=> (AB-15)(AB-10)= 0 

<=> AB= 15 hoặc AB= 10

Vậy AB= 15cm, hoặc AB= 10 cm

* tự vẽ hình nha !!!

a, có góc BAD =90độ -góc A1; góc BDA=90độ-góc A2
mà góc A1=A2=> góc BAD=góc BDA do đó tam giác BAD cân tại B.

$BH.BC=AB^2=>(x-6).25=x^2<=>x^2-25x+150=0\iff x=10$ hoặc $x=15$.

Vậy $AB=10cm$ hoặc $AB=15cm$. 

hứng minh được $AEB\backsim AFC$, từ đó có \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}t​.AE phần AB=AF phần AC

Ta có: $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$ (g.c.g)
b, từ câu a) suy ra EF phần BC=AE phần AB=cos A=cos60 độ =1 phần 2
=> BC=10cm 
c) Saef phần Sabc=(AE phần AB)^2=cos^2 A=1 phần 4 => SAEF =1 phần 4 SABC=25cm^2

a) tan a < tan b

b) cot a > cot b

\(a.tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}< tan\beta=\dfrac{sin\beta}{cos\beta}\)
\(b.cot\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}>cot\beta=\dfrac{cos\beta}{sin\beta}\)

a) sin a < tan a

b) cos a < cot a

\(a.tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}< sin\alpha\left(\alpha nhọn\Rightarrow sin\alpha>0,cos\alpha>0\right)\)
\(b.cot\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}< cos\alpha\left(\alpha nhọn\Rightarrow sin\alpha>0,cos\alpha>0\right)\)

sin 35 > tan 37

cos 40 < tan 55

 \(a.sin35^o< sin37^o< tan37^o\)

\(b.cos40^o< cot40^o=tan50^o< tan55^o\)

a) sin 40 - cos 50 =0

b) sin²30 + sin²40 + sin²50 + sin²60 = 2

c) cos²10 - cos²20 + cos²30 - cos²40 - cos²50 - cos²70 + cos²80 = - sin²30

\(a.sin40^o-cos50^o=sin40^o-sin40^o=0\)
\(b.sin^230^o+sin^240^o+sin^250^o+sin^260^o=\left(sin^230^0+sin^260^o\right)+\left(sin^240^0+sin^250^o\right)=\left(sin^230^0+cos^230^o\right)+\left(sin^240+cos^240^o\right)=1+1=2\)
\(c.\left(cos^210^o+cos^280^o\right)-\left(cos^220^o+cos^270^0\right)-\left(cos^240^o-cos^250^o\right)+cos^230^o=\left(cos^210^o+sin^210^o\right)-\left(cos^220^o+sin^220^o\right)-\left(cos^240^o+sin^240^0\right)+cos^230^0=1-1-1+\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

a) 1-sin² α = cos²α

b) sin⁴α + cos⁴α +2.sin²α.cos²α = 1

c) tan²α-sin²α.tan²α = sin²α

d) tan²α.(2cos²α+sin²α-1) = sin²α

\(a.1-sin^2\alpha=cos^2\alpha+sin^2\alpha-sin^2\alpha=cos^2\alpha\)
\(b.sin^4\alpha+cos^4\alpha+2sin^2\alpha cos^2\alpha=\left(sin^2\alpha+cos^2\alpha\right)^2\)
\(c.tan^2\alpha-sin^2\alpha tan^2\alpha=tan^2\alpha\left(1-sin^2\alpha\right)=\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}cos^2\alpha=sin^2\alpha\)
\(d.tan^2\alpha\left(2cos^2\alpha+sin^2\alpha-1\right)=tan^2\alpha\left(2cos^2\alpha+sin^2\alpha-cos^2\alpha-sin^2\alpha\right)=\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}cos^2\alpha=sin^2\alpha\)