\(\hept{\begin{cases}3x-y=3\sqrt{x+y}\\3x+y=3\sqrt{x-y}\end{cases}\left(x-y;x+y\ge0\right)}\)

Đặt : \(\hept{\begin{cases}x+y=u\\x-y=v\\2x=u+v\end{cases}\left(u;v;x\ge0\right)}\)thì pt tương đương :

\(\hept{\begin{cases}u+2v=3\sqrt{u}\\v+2u=3\sqrt{v}\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}u^2+4v^2+4uv=9u\\v^2+4u^2+4uv=9v\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}u^2-9u+\left(4v^2+4uv\right)=0\\v^2-9v+\left(4u^2+4uv\right)=0\end{cases}}\)

Đến đây bạn giải delta và xét theo đk là xong 

Ta dễ có:

\(2+4ab=\left(a+b\right)^2+a+b\ge4ab+a+b\Rightarrow a+b\le2\)

\(P=\frac{a^2-2a+2}{b+1}+\frac{b^2-2b+2}{a+1}\)

\(=\frac{\left(a-1\right)^2}{b+1}+\frac{\left(b-1\right)^2}{a+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\)

\(\ge\frac{\left(a+b-2\right)^2}{a+b+2}+\frac{4}{a+b+2}\ge\frac{\left(a+b-2\right)^2}{a+b+2}+1\ge1\)

Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=1\)

hmm check hộ mình nhá

Do \(a,b,c\ge1\) nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

Mà \(\frac{4ab}{1+ab}=\frac{4\left(1+ab\right)-4}{1+ab}=4-\frac{4}{1+ab}\ge4-\frac{4}{a+b}\)

Tương tự:\(\frac{4bc}{1+bc}\ge4-\frac{4}{b+c};\frac{4ca}{1+ca}\ge4-\frac{4}{c+a}\)

Mặt khác:\(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2\ge2a-1\)

Tương tự:\(b^2\ge2b-1;c^2\ge2c-1\)

Khi đó ta có:

\(LHS\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+12-4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=S\)

Áp dụng AM - GM ta dễ có:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}+12-4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(=\left(\frac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\frac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\frac{2}{c+a}-1\right)^2+9\)

\(\ge9\)

 Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=1\)

Mình cảm ơn bạn 

a

Dễ thấy theo AM - GM ta có:

\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{4y}\right)+\frac{3x}{4y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{4y}}+\frac{3\cdot2y}{4y}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=2y\)

b

\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\left[\frac{\left(x^2+3\right)}{9}+\frac{1}{x^2+3}\right]+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9}\cdot\frac{1}{x^2+3}}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=0

X= 2,503347166

Đề bài : Tìm giá trị lớn nhất của \(\sqrt{x+4}+\sqrt{2-x}\)

Đặt \(A=\sqrt{x+4}+\sqrt{2-x}\)

\(\Leftrightarrow A^2=x+4+2-x+2\sqrt{\left(x+4\right)\left(2-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow A^2\le6+\left(x+4\right)+\left(2-x\right)\)

\(\Leftrightarrow A^2\le12\)

\(\Leftrightarrow A\le2\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x+4=2-x\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(Max_A=2\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-1\)

giải phương trình nha