\(\frac{\left(a+b\right)^3}{ab+9}+\frac{2}{3}\left(ab+9\right)+12\ge6a+6b\)

\(\Sigma\frac{a^3+b^3}{ab+9}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{\left(a+b\right)^3}{ab+9}\ge\frac{1}{4}\left(12\left(a+b+c\right)-\frac{2}{3}\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+27\right)-36\right)=9\)

Ta có : \(ax^2+3\left(a+1\right)x+2a+4=0\left(a=a;b=3a+3;c=2a+4\right)\)

Theo hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=\frac{-3a-3}{a};x_1x_1=\frac{2a+4}{a}\)

Theo bài ra ta có : \(x_1^2+x_2^2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\) Thay vào ta đc : 

\(\Leftrightarrow\left(\frac{-3a-3}{a}\right)^2-2\left(\frac{2a+4}{a}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{9\left(a+1\right)^2}{a^2}-\frac{4a+8}{a}=4\Leftrightarrow\frac{9\left(a+1\right)^2}{a^2}-\frac{4a^2+8a}{a^2}=\frac{4a^2}{a^2}\)

Khử mẫu ta đc : \(9\left(a+1\right)^2-4a^2+8a=4a^2\)

\(\Leftrightarrow9\left(a^2+2a+1\right)-4a^2+8a=4a^2\)

\(\Leftrightarrow9a^2+18a+9-4a^2+8a-4a^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+27a+9=0\)Ta có : \(\Delta=27^2-4.9=729-36=613>0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{-27-\sqrt{613}}{2};x_2=\frac{-27+\sqrt{613}}{2}\)

từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O,R) vẽ tiếp tuyến AB,cát tuyến AMN với đường tròn( M nằm giữa A,N, B thuộc cung lớn MN) gọi C là điểm chính giữa cung nhỏ MN. đường thẳng MN lần lượt cắt OC và BC tại I và E.
a. Chứng minh tứ giác AIOB nội tiếp
b. Chứng minh tam giác ABE cân
c. Biết AB bằng 2R.Tính chu vi của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIOB theo R
đ. Kẻ tiếp tuyến thứ 2 AL của đường tròn O.Gọi K là giao điểm của BL và ÒA. Chứng minh AM.AN=AL bình, AK.AO=AM.AN

A B C D E O H

Sau đây là cách của mình

Xét dây ED và tâm O của ( O ) có H là trung điểm của DE nên \(OH\perp DE\)

Khi đó tứ giác AHOC là tứ giác nội tiếp, tương tự ABHD cũng là tứ giác nội tiếp

Khi đó 5 điểm A,B,H,O,C đồng viên

Khi đó \(\widehat{AHB}=\widehat{AOB};\widehat{AHB}=\widehat{AOB}\)

Mà theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có được \(OA\) là phân giác của \(\widehat{BOC}\) 

Hay \(\widehat{AOB}=\widehat{AOC}\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\Rightarrow HA\) là phân giác của ^BHC

Vậy ta có đpcm

Sủa lại đề:

\(\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}-\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3-\sqrt{5}}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{3+\sqrt{5}}=a\\\sqrt{3-\sqrt{5}}=b\end{cases}}\)

Khi đó ta có \(a^2+b^2=6\), \(ab=2\), \(a+b=\sqrt{10}\), \(a-b=\sqrt{2}\), \(a^2-b^2=2\sqrt{5}\)

\(=\frac{a^2}{\sqrt{10}+a}-\frac{b^2}{\sqrt{10}+b}\)

\(=\frac{a^2.\left(\sqrt{10}+b\right)-b^2.\left(\sqrt{10}+a\right)}{\left(\sqrt{10}+a\right).\left(\sqrt{10}+b\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{10}a^2+a^2b-\sqrt{10}b^2-ab^2}{10+\sqrt{10}a+\sqrt{10}b+ab}\)

\(=\frac{\sqrt{10}.\left(a^2-b^2\right)+ab.\left(a-b\right)}{10+\sqrt{10}.\left(a+b\right)+ab}\)

\(=\frac{\sqrt{10}.2\sqrt{5}+\sqrt{10}.\sqrt{2}}{10+\sqrt{10}.\sqrt{10}+2}\)

\(=\frac{10\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{10+10+2}\)

\(=\frac{12\sqrt{2}}{22}\)

\(=\frac{6\sqrt{2}}{11}\)

\(\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}-\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}} \)
\(=\frac{3+\sqrt{5}-3-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}\)
\(=\frac{0}{\sqrt{10}+\sqrt{3+\sqrt{5}}}\)

\(=0\)