đại khái giống Ngọc thôi, sửa 1 số lỗi 

\(P=1-2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)-2abc\)

\(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)\(\Rightarrow\)\(ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)

\(\Rightarrow\)\(P\le1-2a^2b-2bc^2-4abc=1-2b\left(c+a\right)^2\le1-8\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3=\frac{19}{27}\)

ta có ab+bc+ca=(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a²b+b²c+c²a)+(ab²+bc²+ca²)+3abc

=> a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=1-2(ab+bc+ca)=1-2[(a²b+b²c+c²a)+(ab²+bc²+ca²)+3abc]

do đó P=2(a²b+b²c+c²a)+1-2[(a²b+b²c+c²a)+(ab²+bc²+ca²)+3abc]+4abc

=1-2(ab²+bc²+ca²)

không mất tính tổng quát giả sử a =<b=<c. suy ra

a(a-b)(b-c) >=0 => (a²-a)(b-c) >=0

=> a²b-a²c-ab²+abc >=0 => ab²+ca²=< a²b+abc

do đó ab²+bc²+ca²+abc=(ab²+ca²)+bc²+abc =< (a²b+abc)+b²c+abc=b(a+c)²

với các số dương x,y,z ta luôn có: \(x+y+z-3\sqrt[3]{xyz}=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\left[\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)^2+\left(\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{z}\right)^2+\left(\sqrt[3]{z}-\sqrt[3]{x}\right)^2\right]\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\)(*)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

áp dụng bđt (*) ta có:

\(b\left(a+c\right)^2=ab\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{a+c}{2}\right)\le4\left(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3}\right)^3=4\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)

=> P=1-2(ab²+bc²+ca²+abc) >= 1-2b(a+c)² >= 1-2.4/₂₇=19/₂₇

vậy minP=19/₂₇ khi x=y=z=1/₃

\(\frac{a^2+2b^2}{a+2b}+\frac{b^2+2a^2}{b+2a}\)

\(=\left(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2a}\right)+2\left(\frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+a}\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}+\frac{2\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{a+b}{3}+\frac{2\left(a+b\right)}{3}=1\)

Không hiểu sao chả cần dùng giả thiết :v