Trả lời:

\(\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}+\frac{6}{2-\sqrt{10}}+\sqrt{67+12\sqrt{7}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{5}.\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}-\frac{6}{\sqrt{10}-2}+\sqrt{63+12\sqrt{7}+4}\)

\(=\sqrt{2}.\sqrt{5}-\frac{6.\left(\sqrt{10}+2\right)}{10-4}+\sqrt{\left(3\sqrt{7}+2\right)^2}\)

\(=\sqrt{10}-\sqrt{10}-2+3\sqrt{7}+2\)

\(=3\sqrt{7}\)

\(\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{14+6\sqrt{5}}=\sqrt{5-4\sqrt{5}+4}-\sqrt{9+6\sqrt{5}+5}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}-\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}=\left(\sqrt{5}-2\right)-\left(3+\sqrt{5}\right)=-5\)

Trả lời: 

\(\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{14+6\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{5-4\sqrt{5}+4}-\sqrt{9+6\sqrt{5}+5}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)^2}-\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=\sqrt{5}-2-3-\sqrt{5}\)

\(=-5\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+2b+b+2a}=\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)

\(2\left(\frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+a}\right)\ge2\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2a+b+2b+a}\right)=2.\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\left(\frac{a^2}{a+2b}+\frac{b^2}{b+2a}\right)+2\left(\frac{a^2}{2a+b}+\frac{b^2}{2b+a}\right)\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}+2.\frac{\left(a+b\right)^2}{3\left(a+b\right)}\)

Vậy ta có ngay điều phải chứng minh

Trả lời:

\(A=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{1-\sqrt{2}}-\frac{2+\sqrt{8}}{1+\sqrt{2}}\)

\(A=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}-1}-\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}\)

\(A=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}.\left(\sqrt{2}+1\right)}{2-1}-\frac{2.\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}\)

\(A=\sqrt{3}+\sqrt{6}.\left(\sqrt{2}+1\right)-2\)

\(A=\sqrt{3}+\sqrt{12}+\sqrt{6}-2\)

\(A=\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\)

\(A=3\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\)

Mình nhầm 

a,Với \(m=2\)thì phương trình trên tương đương với :

\(x^2-4x-4+12-5=0\)

\(< =>x^2-4x+3=0\)

Ta dễ dàng nhận thấy : \(1-4+3=0\)

Nên phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt là \(\hept{\begin{cases}x_1=1\\x_2=3\end{cases}}\)

b,Để phương trình luôn có nghiệm : \(\Delta\ge0\)

\(< =>\left(-4\right)^2-4\left(-m^2+6m-5\right)\ge0\)

\(< =>16+4m^2-24m+20\)

\(< =>\left(2m\right)^2-2.2.m.6+6^2=\left(2m-6\right)^2\ge0\)(đúng)

c,Theo bất đẳng thức AM-GM thì :

\(x_1^3+x_2^3\ge2\sqrt[2]{x_1^3x_2^3}=2x_1x_2\)

Nên ta được : \(P\ge2x_1x_2\)

Mặt khác theo hệ thức Vi ét thì : \(x_1x_2=-m^2+6m-5\)

\(< =>P\ge-2m^2+12m-10\)

\(< =>P\ge-\left(\sqrt{2}m\right)^2+2\left(-\sqrt{2}m\right)\left(-\sqrt{18}\right)+\left(-\sqrt{18}\right)^2\)

\(< =>P\ge\left[-\sqrt{2}m.\left(-\sqrt{18}\right)\right]^2-28\)

Đẳng thức xảy ra khi  và chỉ khi \(m=0\)

Vậy \(Min_P=-28\)khi \(m=0\)

x² - 4x - m² + 6m - 5 = 0

Với m = 2 ta có :

x² - 4x - m² + 6m - 5 = 0

<=> x² - 4x - 2² + 2.6 - 5 = 0

<=> x² - 4x - 4 + 12 - 5 = 0

<=> x² - 4x + 3 = 0

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\)

\(\Delta>0\)nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=3\)

\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=1\)