\(B=\dfrac{1}{1+2}+\dfrac{1}{1+2+3}+\dfrac{1}{1+2+3+4}+...+\dfrac{1}{1+2+3+4+...+99}\)

\(=\dfrac{1}{\dfrac{2.3}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{3.4}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{4.5}{2}}+...+\dfrac{1}{\dfrac{99.100}{2}}\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{99.100}\right)\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=\dfrac{49}{50}\).

1+2+3+....+99=100.99/2

1+2+3+...+98=99.98/2

.

.

.

1+2=3.2/2

=> B=2/(2.3)+ 2/(3.4)+...+2/(100.99)

=2.(1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/99-1/100)

=2.(1/2-1/100)

P(x) = 7^x + 3^x - 1 \(⋮9\)

Với x = 3k + 1 (k \(\inℕ^∗\))

= 7^{3k + 1} + 3^{3k + 1} - 1

= 343^k.3 + 27^k.3 - 1 

= (343^k.3 - 3) + 27^k.3 + 2

= 3(343^k - 1) + 27^k.3 + 2 

= 3(343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.3 + 2 

= 3.342(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.3 + 2 

=> P(x) : 9 dư 2

Với x = 3k + 2  

P(x) = 7^{3k + 2} + 3^{3k + 2} - 1

= 343^k.49 + 27^k.9 - 1 

= (343^k.49 - 49) + 27^k.9 + 48

= 49(343^k - 1) + 27^k.9 + 48

= 49(343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k.9 + 45 + 3

=> P(x) : 9 dư 3

Với x = 3k 

Khi đó P(x) = 7^3k + 3^3k - 1

= (343^k - 1) + 27^k

= (343 - 1)(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k

= 342(343^{k - 1} + 343^{k - 2} + ... + 343 + 1) + 27^k \(⋮9\)

Vậy P(x) \(⋮\Leftrightarrow x⋮3\)

Để : \(\dfrac{2}{n^2+1}\in Z\)

Ta có : \(\dfrac{2n}{n^2+1}=\dfrac{2n}{n^2}+2n\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2n}{n^2}=\dfrac{2}{n}\in Z\)

\(\Leftrightarrow n\in U\left(2\right)\)

"k" là gì

Cuốn sách cần phải đánh số trang là : 

            \(\left(512-3\right):1+1=510\left(trang\right)\)

Cuốn sách đó cần phải đánh số chữ số 5 là :

             \(510:10=51\left(chu\right)\)

anh đoán v

Lời giải:
Gọi ƯCLN(a,a+b)=d thì:
$a\vdots d$ và $a+b\vdots d$

$\Rightarrow (a+b)-a\vdots d$

$\Rightarrow b\vdots d$
Vậy $a\vdots d; b\vdots d$ nên $d$ là ƯC(a,b)

Mà $(a,b)=1$ nên $d=1$

Vậy $ƯCLN(a,a+b)=1$ (đpcm)

Lời giải:

b.

$\frac{12}{x+2}=\frac{x+2}{3}$

$\Rightarrow (x+2)^2=12.3=36=6^2=(-6)^2$

$\Rightarrow x+2=6$ hoặc $x+2=-6$

$\Rightarrow x=4$ hoặc $x=-8$
c.

$(x-\frac{1}{2})^2=2\frac{4}{9}+\frac{1}{3}=\frac{25}{9}=(\frac{5}{3})^2=(\frac{-5}{3})^2$
$\Rightarrow x-\frac{1}{2}=\frac{5}{3}$ hoặc $x-\frac{1}{2}=\frac{-5}{3}$
$\Rightarrow x=\frac{13}{6}$ hoặc $x=\frac{-7}{6}$

d.

$\frac{x-2}{5}=\frac{2x+3}{4}$

$\Rightarrow 4(x-2)=5(2x+3)$

$\Rightarrow 4x-8=10x+15$

$\Rightarrow -23=6x$

$\Rightarrow x=\frac{-23}{6}$

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 5 mà 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5. 
=> a^5 - a chia hết cho 5 
Mà a^5 chia hết cho 5 => a chia hết cho 5. 
( Nếu a không chia hết cho 5 thì a^5 - a không chia hết cho 5 vì a^5 chia hết cho 5) 

 Chứng minh rằng nếu (5n + 1) là số chẵn thì n là số lẻ. 
Giải: Nếu 5n + 1 là số chẵn thì => 
5n + 1 có dạng 2k (k là số tự nhiên) 
=> 5n + 1 = 2k 
=> 5n = 2k - 1 
Do 2k - 1 là số lẻ => 5n là số lẻ (1) 
Nếu n là số chẵn thì 5n chẵn => mâu thuẩn với (1) 
=> n phải là số lẻ

\(\dfrac{-49}{81}.\dfrac{27}{-27}=\dfrac{49}{81}\)

-49/81x27/(-77)

=-49x27/81x(-77)

=-1323/-6273

=1323/6273

=147/697

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}\\ =>\dfrac{2x}{16}=\dfrac{3y}{36}\)

mà 2x+3y=12

áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{2x}{16}=\dfrac{3y}{36}=\dfrac{2x+3y}{16+36}=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}\)

\(=>x=\dfrac{3}{13}\cdot8=\dfrac{24}{13}\\ y=\dfrac{3}{13}\cdot12=\dfrac{36}{13}\)