Xét n=1 ta có n⁴+4ⁿ=5 thỏa mãn

Xét n>1. Nếu n chẵn thì n⁴+4ⁿ chia hết cho 2 và n⁴+4ⁿ>2 nên n⁴+4ⁿ là hợp số

Nếu n lẻ ta đặt n=2k+1(k thuộc N) ta có:

n⁴+4ⁿ=(n²)²+(4^k.2)²=(n²+4^k.2)²-2n²+4^k.2

=(n²+4^k.2)²-(2n.2^k)²=(n²-2n.2^k+4^k.2)(n²+2n.2^k+4^k.2)

Tích cuối là 1 hợp số

Vậy n=1 thỏa mãn bài toán

=(2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(2⁴-1)(2⁴+1)...(2²⁵⁶+1)+1

=(\(\text{2}^{16}-1\))...(2²⁵⁶+1)+1

=(2²⁵⁶-1)(2²⁵⁶+1)+1

=\(\text{2}^{65536}\)

Ta có : \(AB//MN\)(đã chứng minh)

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{EMF}\)(2 góc ở vị trí đồng vị) (1)

\(\Delta MEC\)cân tại M có đường cao MF ứng với cạnh đáy BC

\(\Rightarrow\)MF đồng thời là  phân giác của \(\widehat{EMC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EMF}=\widehat{CMF}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{FMC}\)\(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{NMC}\)\(\Rightarrow2\widehat{AEM}=2\widehat{NMC}\left(3\right)\)

Chứng minh được MNCD là hình thoi 

Xét hình thoi MNCD có MC là đường chéo 

\(\Rightarrow MC\)là phân giác của \(\widehat{NMD}\)(tính chất)

\(\Rightarrow2\widehat{NMC}=\widehat{NMD}\)

Mà \(\widehat{NMD}=\widehat{BAM}\)(vì \(AB//MN\))

\(\Rightarrow2\widehat{NMC}=\widehat{BAM}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) 

\(\Rightarrow\)\(2\widehat{AEM}=\widehat{BAM}\)

\(\Rightarrow2\widehat{AEM}=\widehat{BAD}\)(điều phải chứng minh)

Bài 1 :

a)\(A=\left(\frac{2x}{x-3}+\frac{x}{x+3}-\frac{3x^2-9}{x^2-9}\right)\cdot\frac{x-3}{x+4}\left(x\ne\pm3,x\ne-4\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{2x\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x^2-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\cdot\frac{x-3}{x+4}\)

\(\Rightarrow A=\frac{2x\left(x+3\right)+x\left(x-3\right)-3\left(x^2-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\cdot\frac{x-3}{x+4}\)

\(\Rightarrow A=\frac{2x^2+6x+x^2-3x-3x^2+9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\cdot\frac{x-3}{x+4}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(3x+9\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{3\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\frac{3}{x+4}\)

b) x = 9 thì : \(A=\frac{3}{9+4}=\frac{3}{13}\)

c) \(A=\frac{1}{3}\)thì : \(\frac{3}{x+4}=\frac{1}{3}\Rightarrow x+4=9\Rightarrow x=5\left(tm\right)\)

d) \(\frac{3}{x+4}\Rightarrow x+4\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

Mà \(x\ne\pm3,x\ne-4\)nên loại x = -3

Vậy \(x\in\left\{-5;-1;-7\right\}\)

Ta có: A = (x + 2)(x - 3)

= x² - x - 6

=\(x^2-2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4}-\frac{25}{4}\)

= \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\ge-\frac{25}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x-\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=0,5\)

Vậy Min A = -25/4 <=> x = 0,5

Sửa \(\frac{x}{x+3}-\frac{x-2}{2x-6}=\frac{2x+2}{x^2-9}\)ĐK : \(x\ne\pm3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x\left(x-3\right)}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{2\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{4x+4}{2\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Rightarrow2x^2-6x-x^2-3x+2x+6=4x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2-7x+6-4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-11x+2=0\)( bạn kiểm tra lại đề nhé ! )

Ta có: \(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

   \(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)=4\)

   \(\Leftrightarrow\left(x-4y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-4y\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(\left(x-4y\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge0\forall x,y\)

mà \(\left(x-4y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)\(\Rightarrow\)\(0\le\left(x-4y\right)^2+\left(y+1\right)^2\le4\forall x,y\)

Vì \(x,y\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-4y\right)^2\inℤ\\\left(y+1\right)^2\inℤ\end{cases}}\)

+) \(\hept{\begin{cases}\left(x-4y\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-4y=0\\y+1=2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}}\)( TM )

+) \(\hept{\begin{cases}\left(x-4y\right)^2=1\\\left(y+1\right)^2=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-4y=1\\y+1=\sqrt{3}\end{cases}}\)( loại )

+) \(\hept{\begin{cases}\left(x-4y\right)^2=2\\\left(y+1\right)^2=2\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-4y=\sqrt{2}\\y+1=\sqrt{2}\end{cases}}\)( loại )

+) \(\hept{\begin{cases}\left(x-4y\right)^2=4\\\left(y+1\right)^2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-4y=2\\y+1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}\)( TM )

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-2,-1\right);\left(4,1\right)\right\}\)

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4xy+4y^2+y^2+2y+1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-2y\right)^2\ge0\\\left(y+1\right)^2\ge0\end{cases}\Leftrightarrow0\le\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2\le4}\)

Ta xét lần lượt là ra nha