\(\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)=\left(\sqrt{a}\right)^3-1=\sqrt{a^3}-1=a\sqrt{a}-1\)

\(A=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\sqrt{\sqrt{3}+2}\)

=>   \(A=\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

=>   \(A=\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)

=>   \(A=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\left(\sqrt{3}-2\right)\)

=>   \(A=\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\)

=>   \(A=4\sqrt{3}-8+6-4\sqrt{3}\)

=>   \(A=-8+6=-2\)

VẬY \(A=-2\)

\(B=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right).\sqrt{2}.\sqrt{4-\sqrt{15}}\)

=>   \(B=\sqrt{8-2\sqrt{15}}\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)

=> \(B=\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)\)

=>  \(B=\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2\left(4+\sqrt{15}\right)\)

=>   \(B=\left(8-2\sqrt{15}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)\)

=>   \(B=32+8\sqrt{15}-8\sqrt{15}-30\)

=>   \(B=2\)

VẬY    \(B=2\)

\(B=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\)

\(\sqrt{x}-3⋮\sqrt{x}-2\Leftrightarrow\sqrt{x}-2-1⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow-1⋮\sqrt{x}-2\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(-2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

\(B=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\left(x\ge0\right)\)

để B đạt giá trị âm thì \(\sqrt{x}-3\)và \(\sqrt{x}-2\)phải trái dấu nhau 

ta thấy \(\sqrt{x}-3< \sqrt{x}-2\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3< 0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}< 3\\\sqrt{x}>2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x< 9\\x>4\end{cases}\Leftrightarrow}4< x< 9}\)

vậy 4<x<9 thì B đạt giá trị âm

Ta có :

\(\left(5xy^2+9xy-x^2y^2\right):\left(-xy\right)\)

\(=\left(-xy\right).\left(-5y-9+xy\right):\left(-xy\right)\)

\(=-5y-9+xy\)

Thay \(x=1,y=2\) vào ta có :

\(-5y-9+xy=\left(-5\right).2-9+1.2=-17\)

Ta có:  (ÁP DỤNG BĐT CAUCHY SẼ ĐƯỢC):

\(a^4+b^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)

Và:   \(b^4+a^2\ge2\sqrt{a^2b^4}=2ab^2\)

=>   \(VT\le\frac{a}{2a^2b}+\frac{b}{2ab^2}\)

=>   \(VT\le\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)

=>   \(VT\le\frac{2}{2ab}=\frac{1}{ab}\)

=> VẬY TA CÓ ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b\)

Thay \(\left(a,b,c\right)=\left(2,5,10\right)\) vao gt ta thay ko thoa man

Sua lai de : CMR \(a^3+b^3+c^3-3abc⋮a+b+c\) 

CM:

\(VT=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab\right)⋮\left(a+b+c\right)\)

Xét \(A=a^{2024}-a^{2020}=a^{2020}\left(a^4-1\right)\)

- Chứng minh A chia hết cho 2:
 +) Nếu a lẻ thì \(a-1\)chẵn nên A chia hết cho 2

 +) Nếu a chẵn thì \(a^{2020}\)chẵn nên A chia hết cho 2

- Chứng minh A chia hết cho 3:
 +) Nếu a chia hết cho 3 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

 +) Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^2\equiv1\)(mod 3) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 3). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3
- Chứng minh A chia hết cho 5:

 +) Nếu a chia hết cho 5 thì \(a^{2020}\)chia hết cho 5 nên a chia hết cho 5

 +) Nếu a không chia hết cho 5 thì \(a^2\equiv1,4\)(mod 5) \(\Rightarrow a^4\equiv1\)(mod 5). Vậy \(a^4-1\)chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5

Từ đây ta có A chia hết cho 2, 3, 5 vậy A chia hết cho 30 \(\Rightarrow a^{2024}\equiv a^{2020}\)(mod 30)

\(\Rightarrow a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\equiv a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\equiv7\)(mod 30)
Vậy \(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\)chia 30 dư 7