\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1\div16}{16x\div16}+\frac{1\div4}{4y\div4}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{1}=\frac{49}{16}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1}{x+y+z}=\frac{21}{16}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{16}{21}\end{cases}}\)

Vậy MinP = 49/16

Ta có\(\frac{x+2052}{30}+\frac{x+2014}{4}+\frac{x+47}{1975}=\frac{x+4}{2018}+\frac{x+3}{2019}\)

<=> \(\left(\frac{x+2052}{30}-1\right)+\left(\frac{x+2014}{4}+2\right)+\left(\frac{x+47}{1975}+1\right)=\left(\frac{x+4}{2018}+1\right)+\left(\frac{x+3}{2019}+1\right)\)

<=> \(\frac{x+2022}{30}+\frac{x+2022}{4}+\frac{x+2022}{1975}=\frac{x+2022}{2018}+\frac{x+2022}{2019}\)

<=> \(\frac{x+2022}{30}+\frac{x+2022}{4}+\frac{x+2022}{1975}-\frac{x+2022}{2018}-\frac{x+2022}{2019}=0\)

<=> \(\left(x+2022\right)\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{4}+\frac{1}{1975}-\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\right)=0\)

<=> x + 2022 = 0 (Vì \(\frac{1}{30}+\frac{1}{4}+\frac{1}{1975}-\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\ne0\))

<=> x = -2022

Vậy x = -2022 là nghiệm phương trình

\(\frac{x+2052}{30}+\frac{x+2014}{4}+\frac{x+47}{1975}=\frac{x+4}{2018}+\frac{x+3}{2019}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+2052}{30}-1\right)+\left(\frac{x+2014}{4}+2\right)+\left(\frac{x+47}{1975}+1\right)=\left(\frac{x+4}{2018}+1\right)+\left(\frac{x+3}{2019}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2052-30}{30}+\frac{x+2014+8}{4}+\frac{x+47+1975}{1975}=\frac{x+4+2018}{2018}+\frac{x+3+2019}{2019}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2022}{30}+\frac{x+2022}{4}+\frac{x+2022}{1975}=\frac{x+2022}{2018}+\frac{x+2022}{2019}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2022\right)\left(\frac{1}{30}+\frac{1}{4}+\frac{1}{1975}-\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2022=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2022\)

Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x (km/h)
(x > 0)
Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 4 (km/h)
Vận tốc ngược dòng của ca nô là x - 4 (km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng là 30/(x + 4) (h)
Thời gian ca nô ngược dòng là 30/(x - 4) (h)
Vì ca nô xuôi dòng và ngược dòng hết 4h
=> 30/(x + 4) + 30/(x - 4) = 4
=> x = 16 (TM)
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 16 (KM/h).

\(\frac{x+2}{x+1}-\frac{3}{x-2}=\frac{3}{x^2-x-2}+1\left(x\ne-1,x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-x-2}{x^2-x-2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{x^2-2x+x-2}+\frac{3\left(x+1\right)}{x^2-2x+x-2}=\frac{3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-x-2}{x^2-x-2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{x^2-x-2}+\frac{3x+3}{x^2-x-2}=\frac{3}{x^2-x-2}+\frac{x^2-x-2}{x^2-x-2}\)

\(\Rightarrow x^2-4+3x+3=3+x^2-x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4+3x+3-3-x^2+x+2=0\)

\(\Leftrightarrow4x-2=0\)

\(\Leftrightarrow4x=2\)

\(\Leftrightarrow2x=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)(tmđk)

Vậy \(S=\left\{\frac{1}{2}\right\}\)

\(\frac{x+2}{x+1}+\frac{3}{x-2}=\frac{3}{x^2-x-2}+1\)ĐK : \(x\ne-1;2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)+3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3+\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Rightarrow x^2-4+3x-3=3+x^2-x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x-7=1+x^2-x\)

\(\Leftrightarrow2x-8=0\Leftrightarrow x=4\)( tmđk )

Vậy tập nghiệm phương trình là  S = { 4 }

Gọi vận tốc của xe thứ 1 ; thứ 2 lần lượt là x;y (km/h)

( y>0;x>10 )

Vì vận tốc xe thứ 1 lớn hơn xe thứ 2 là 10km /h nên ta có phương trình:

x-y=10(1)

Thời gian xe thứ 1 đi hết quãng đường AB là 

100/x(h)

Thời gian xe thứ 2 đi hết quãng đường AB là 

100/y(h)

Vì xe thứ 1 đến B trước xe thứu 2 h30'=1/2h nên ta có phương trình:

100/y−100/x=1/2(2)

Từ ( 1 ) và ( 2 )

=> ⇔{x=50y=40 ( t.m )

Vậy ...

Thời gian người đi xe đạp là:

8 giờ 40 phút - 7 giờ = 1 giờ 40 phút = 5/3 giờ

Người đi xe đạp đi được quãng đường là:

10 x 5/3 = 50/3 km

Hiệu hai vận tốc là:

30km/h - 10km/h = 20km/h

Thời gian hai người gặp nhau là:

50/3 : 20 = 5/6 giờ = 50 phút

Vậy hai người gặp nhau lúc:

8 giờ 40 phút + 50 phút = 9 giờ 30 phút

Đáp số : 9 giờ 30 phút.

Gọi thời gian đến điểm gặp nhau của xe đạp là x (x > 5/3)

=> Thời gian đến điểm gặp nhau của xe máy là x - 5/3 

Vì cùng đi trên 1 quãng đường nên ta có phương trình

10x = (x - 5/3).30 

<=> 10x = 30x - 50

<=> 20x = 50

<=> x = 2,5 (tm)

=> Thời gian đến điểm gặp nhau là 2,5 h = 2 giờ 30 phút

=> Gặp nhau lúc 8 giờ 40 phút + 2 giờ 30 phút = 11 giờ 10 phút

Vậy 2 xe gặp nhau lúc 11 giờ 10 phút

Đặt t = x + 4

pt <=> ( t - 1 )⁴ + ( t + 1 )⁴ = 2

<=> 2t⁴ + 12t² + 1 - 2 = 0

<=> t²( t² + 6 ) = 0

<=> ( x + 4 )²[ ( x + 4 )² + 6 ] = 0

<=> x + 4 = 0 [ do ( x + 4 )² + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x ]

<=> x = -4 

Vậy S = { -4 }

2x-(x-3)+5(x+3)=0

<=>2x+(x+3)+5(x+3)=0

<=>(x+3)(2x+5)=0

<=>x+3=0 hoặc 2x+5=0

<=>x=-3 hoặc x=-2/5

\(\left(2x-5\right)^2-\left(x+5\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-5-x-5\right)\left(2x-5+x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow10\left(x-10\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-10=0\)

\(\Leftrightarrow x=10\)

Trả lời:

( 2x - 5 )² + ( x + 5 )² = 0

<=> ( 2x - 5 + x + 5 ) ( 2x - 5 - x - 5 ) = 0

<=> 3x . ( x - 10 ) = 0

<=> x = 0 hoặc x - 10 = 0

                    <=>    x = 10

Vậy S = { 0; 10 }