\(n^2+5n+15⋮49\)

\(\Rightarrow n^2+5n+15⋮7\)

\(\Leftrightarrow n^2-2n+1=\left(n-1\right)^2⋮7\)

\(\Leftrightarrow n-1⋮7\)

\(\Leftrightarrow n=7k+1,k\inℕ\).

\(n^2+5n+15=\left(7k+1\right)^2+5\left(7k+1\right)+15\)

\(=49k^2+49k+6⋮̸49\).

Ta có đpcm. 

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2ab}{ab}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b\).

Vậy \(minS=2\).

\(S=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\)( Cauchy-Schwarz dạng Engel )

Lại có : \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( AM-GM )

\(\Rightarrow\frac{1}{2ab}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2ab}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b

Vậy MinS = 2

Đặt \(\hept{\begin{cases}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=0\).

\(A^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

\(=4+2.\frac{x+y+z}{xyz}=4+0=4\).

\(\Leftrightarrow A=\pm2\).

んuﾘ ｲ                             Sửa A = 3 mà chứng minh được\(A\ge3\)

Ngẫm lại xem có xứng đáng làm CTV không

Dotnhuchomalamnhugioilam!!!

Sửa \(A=3\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}}\); \(x;y;z>0\)

\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

\(VT=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)

\(\)Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c

Trả lời:

Ta có x-y-z=0

-> x=y+z (1)

C= (1-\(\frac{x}{z}\))(1-\(\frac{x}{y}\))(1+\(\frac{y}{z}\))

C=\(\frac{\left(x-z\right)\left(y-x\right)\left(z+y\right)}{xyz}\)

C= \(\frac{\left(y+z-z\right)\left(y-\left(y+z\right)\right)\left(z+y\right)}{yz\left(y+z\right)}\)

C= \(\frac{y.-z.\left(z+y\right)}{y.z.\left(y+z\right)}\)

C=-1

Đáp số: C=-1

Hình như đề sai hay sao ý?

a/ Xét tg vuông AHD và tg vuông AKB có 

\(\widehat{BAK}+\widehat{ABC}=90^o\)

\(\widehat{DAH}+\widehat{ADC}=90^o\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (Hai góc đối của hbh)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{BAK}\)

=> tg AHD đồng dạng với tg AKB \(\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{DA}{AB}\) mà AB = DC (hai cạnh đối của hbh) \(\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{DA}{DC}\left(dpcm\right)\)

b/ Ta có K và H đều nhìn AC dưới 1 góc 90 độ

=> Tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC 

=> sđ \(\widehat{AKH}\) = sđ \(\widehat{ACH}\) = 1/2 sđ cung AH (Góc nội tiếp đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{ACH}\left(dpcm\right)\)

A B C D E

a) Trên tia đối của tia DA lấy điểm D sao cho DA = DE.

Xét tứ giác ABEC (tớ quên kẻ BE) có : 

2 đường chéo AE và BC 

Và D vừa là trung điểm của BC, vừa là trung điểm của AE

\(\Rightarrow ABEC\)là hình bình hành.

\(\Rightarrow AB=CE\)( tính chất)

Xét \(\Delta ACE\)có:

\(CA+CE>AE\)

Mà \(AB=CE\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow AC+AB>AE\)

\(\Rightarrow AC+AB>2AD\)(vì D là trung điểm của AE)

\(\Rightarrow\frac{AB+AC}{2}>AD\)(điều phải chứng minh)