\(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\)

\(=x+y+z+\frac{9}{x+y+z}-\frac{6}{x+y+z}\)

\(\ge6-\frac{6}{3\sqrt[3]{xyz}}=6-\frac{6}{3}=4\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1

\(x+\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{x+2}\) với \(x\ge-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow x-1+\frac{x-1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}\right)=0\)

Dễ thấy \(1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2}}>0\forall x\)nên \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)

Ta có: \(A=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+4}=\frac{\left(\sqrt{x}+4\right)+3}{\sqrt{x}+4}=1+\frac{3}{\sqrt{x}+4}\)

a) Vì \(\sqrt{x}+4\ge4>3\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+4}\) luôn không nguyên

=> A luôn không nguyên

b) Không thể tìm được giá trị nhỏ nhất của A, ta chỉ có thể tìm được GTLN:

\(\sqrt{x}+4\ge4\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x}+4}\le\frac{3}{4}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\sqrt{x}=0\Rightarrow x=0\)

Vậy Max(A) = 7/4 khi x = 0

chỉ làm được câu a do hơi gà 

\(P=\frac{1}{2\left(1+\sqrt{a}\right)}+\frac{1}{2\left(1-\sqrt{a}\right)}-\frac{a^2+2}{1-a^3}\)

\(=\frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{2\left(1-a\right)}-\frac{a^2+2}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}\)

\(=\frac{1-a+a^2-a^2+2}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}=\frac{3-a}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}\)

sửa dòng cuối :))

\(\frac{1-a+a^2-a^2-2}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}=\frac{-1-a}{\left(1-a\right)\left(1-a+a^2\right)}\)

1. Gọi I chính là giao điểm của BD và AC. Ta có: AB = BC = DC = AD = AH + BH = 7+2 = 9(cm)

Xét\(\Delta AHD\left(\widehat{AHD}=90^0\right)\) theo định lý py - ta - go ta có : 

\(HD=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{9^2-7^2}=4\sqrt{2}cm\)

Xét\(\Delta BHD\left(\widehat{BHD=90^O}\right)\)theo định lý py - ta - go ta có : 

\(BD=\sqrt{HD^2+BH^2}=\sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2+2^2}=6cm\)

BI = DI =\(\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm\). Xét\(\Delta AID\left(\widehat{AID}=90^O\right)\)theo định lý py - ta - go ta có : 

\(AI=\sqrt{AD^2-DI^2}=\sqrt{9^2-3^2}=6\sqrt{2cm}\)

AC = AI.2 =\(6\sqrt{2}.2=12\sqrt{2}\)=> S_ABCD =\(\frac{1}{2}.\left(BD.AC\right)=\frac{1}{2}.\left(6.12\sqrt{2}\right)=36\sqrt{2}cm\)

+) \(P=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{x^2}{x\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{y\sqrt{1-y^2}}\)

\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}}\)

+) \(A=x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\)

\(A^2=x^2+y^2-y^4-x^4+2xy\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}\)

+) \(B=x^2+y^2-x^4-y^4=x^2+\left(1-x\right)^2-x^4-\left(1-x\right)^4\)

\(-\frac{B}{2}+\frac{3}{16}=x^4-2x^3+2x^2-x+\frac{3}{16}=\left(x^2-x+\frac{3}{4}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow B\le\frac{3}{8}\)

+) \(A^2\le\frac{3}{8}+2\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\sqrt{1-x^2-y^2+x^2y^2}\)

\(\le\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sqrt{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}}=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}\)

+) \(P=\frac{1}{A}\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

* Mình làm hơi tắt và có vẻ hơi dài

Từ điều kiện đề bài ta có: \(P=\frac{x}{\sqrt{y^2+2xy}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+2xy}}\)

Theo Holder: \(P.P.\left[x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)\right]\ge\left(x+y\right)^3\)

\(\Rightarrow P^2\ge\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\) (*)

Xét: \(\frac{\left(x+y\right)^3}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}-\frac{4}{3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{x\left(y^2+2xy\right)+y\left(x^2+2xy\right)}\ge0\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(P\ge\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1\2

=\(\sqrt{\left(5+2\sqrt{6}\right)+\left(2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\right)+5}\)

=\(\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2+2\sqrt{5}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{5}\right)^2}\)

=\(\sqrt{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2}\)

=\(\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\)