a/ \(9x^2+y^2=18x+6y-18\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2-18x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

a) \(9x^2+y^2=18x+6y-18\)

\(\Rightarrow9x^2+y^2-18x-6y+9=0\)

\(\Rightarrow\left(9x^2-18x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)=0\)

\(\Rightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}9\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}9\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}}\)

Vậy ....................

Câu b để mik nghĩ  tiếp

\(P=\frac{n^3+2n^2-1}{n^3+2n^2+2n+1}\)

ĐKXĐ : \(n\ne-1\)

\(=\frac{n^3+n^2+n^2+n-n-1}{n^3+2n^2+2n+1}=\frac{n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)-\left(n+1\right)}{\left(n^3+1\right)+2n\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)+2n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)\left(n^2+n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}=\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)

Với n nguyên, đặt ƯC( n² + n - 1 ; n² + n + 1 ) = d

=> n² + n - 1 ⋮ d và n² + n + 1 ⋮ d

=> ( n² + n + 1 ) - ( n² + n - 1 ) ⋮ d

=> n² + n + 1 - n² - n + 1 ⋮ d

=> 2 ⋮ d => d = 1 hoặc d = 2

Dễ thấy n² + n + 1 ⋮/ 2 ∀ n ∈ Z ( bạn tự chứng minh )

=> loại d = 2

=> d = 1

=> ƯCLN( n² + n - 1 ; n² + n + 1 ) = 1

hay P tối giản ( đpcm )

Ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3+xyz\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^3+y^3+z^3+xyz=0\end{cases}}\)

Xét \(x+y+z=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)

\(=\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}+\frac{z}{-z}=-1-1-1=-3\)

Xét \(x^3+y^3+z^3+xyz=0\)

\(\Rightarrow F-1=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}-1\)

\(=\frac{x^3+y^3+z^3+xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)

\(\Rightarrow F=1\)

Đặt \(a=x;2b=y;3c=z\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Rightarrow Q=\frac{\frac{y}{2}.\frac{z}{3}}{x^2}+\frac{x.\frac{c}{3}}{2y^2}+\frac{x.\frac{y}{2}}{3z^2}\)

\(=\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3}{6x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2+3x^2y^2z^2}{6x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-y^2zx+z^2xy\right)+3x^2y^2z^2}{6x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{3x^2y^2z^2}{6x^2y^2z^2}=\frac{1}{2}\)

\(xy^2+\left(2x-27\right)y+x=0\)

Xét phương trình theo ẩn y. Để phương trình có nghiệm thì

\(\Delta_y=\left(2x-27\right)^2-4x.x\ge0\)

\(\Rightarrow1\le x\le6\)

Thế lần lược tực 1 tới 6 vô ta chỉ nhận \(\left(x;y\right)=\left(6;2\right)\)

Với x > 0 , áp dụng bđt AM-GM ta có :

\(\frac{x}{\left(x+1\right)^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\cdot\frac{\left(x+1\right)^2}{x}}=2\)

=> \(A=\frac{x}{\left(x+1\right)^2}+\frac{\left(x+1\right)^2}{x}-2\ge2-2=0\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{x}{\left(x+1\right)^2}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}\)

=> ( x + 1 )⁴ - x² = 0

<=> [ ( x + 1 )² - x ][ ( x + 1 )² + x ] = 0

<=> ( x² + x + 1 )( x² + 3x + 1 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2+x+1=0\\x^2+3x+1=0\end{cases}}\)

+) x² + x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 1 - 4 = -3

Δ < 0 nên pt vô nghiệm

+) x² + 3x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 9 - 4 = 5

Δ > 0, áp dụng công thức nghiệm thu được \(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\left(ktm\right)\)

Vậy ...

Trả lời:

( x - 4 )² + ( x + 5 )² = 0

Vì \(\left(x-4\right)^2\ge0\forall x\); \(\left(x+5\right)^2\ge0\forall x\)

=> ( x - 4 )² = 0 và ( x + 5 )² = 0

<=> x - 4 = 0 và x + 5 = 0

<=> x = 4 và x = -5

Vậy x = 4 và x = -5

( x - 4 )² + ( x + 5 )² = 0

<=> x² - 8x + 16 + x² + 10x + 25 = 0

<=> 2x² + 2x + 41 = 0

Δ = b² - 4ac = 2² - 4.2.41 = 4 - 328 = -324

Δ < 0 nên pt vô nghiệm

Dùng phương pháp hệ số bất định , rồi đồng nhất hệ số nha

\(x^4-8x+63=x^4+16x^2-16x^2-8x+64-1\)

\(=(x^4+16x^2+64)-\left(16x^2+8x+1\right)\)

\(=\left(x^2+8\right)^2-\left(4x+1\right)^2=\left(x^2+8+4x+1\right)\left(x^2+8-4x-1\right)\)

\(=\left(x^2+4x+9\right)\left(x^2-4x+7\right)\)