Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=3\)
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(2y+z+x\right)^2}+\frac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\ge\frac{3}{16}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(2a+2b+2c=by+cz+ax+cz+ax+by\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=ax+by+cz\)
\(\Rightarrow a+b+c=ax+2a;a+b+c=by+2b;a+b+c=cz+2c\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+2}=\frac{a}{a+b+c};\frac{1}{y+2}=\frac{b}{a+b+c};\frac{1}{z+2}=\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
NC
12 tháng 3 2021
Ta có:\(\hept{\begin{cases}2a=by+cz\\2b=ax+cz\\2c=ax+by\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c=by+cz+ax+cz+ax+by\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c=2ax+2by+2cz\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2ax-2by-2cz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-2ax\right)+\left(2b-2by\right)+\left(2c-2cz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a\left(1-x\right)+2b\left(1-y\right)+2c\left(1-z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-x=0\\1-y=0\\1-z=0\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2}=1\)
NK
2
12 tháng 3 2021
Ta có:
\(x^6< y^3=x^6+3x^2+1\le\left(x^2+1\right)^3\)
\(\Rightarrow x^6+3x^2+1=\left(x^2+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow3x^4=0\)
\(\Leftrightarrow x=0\)
\(\Rightarrow y=1\)
NK
1
12 tháng 3 2021
Đặt
\(a^2=n^2-n+2\)
Ta có:
\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< a^2=n^2-n+2< \left(n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow n^2-n+2=n^2\)
\(\Leftrightarrow n=2\)
12 tháng 3 2021
a, \(3\left(m+1\right)x+4=2x+5\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(m+1\right)x-2x=5\left(m+1\right)-4\)
\(\Leftrightarrow\left(3m+1\right)x=5m+1\)(*)
(*) có nghiệm duy nhất khi \(3m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne-\frac{1}{3}\)
(*) vô nghiệm khi \(\hept{\begin{cases}3m+1=0\\5m+1\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=-\frac{1}{3}\\m\ne-\frac{1}{5}\end{cases}}\)
(*) đúng với mọi x khi \(\hept{\begin{cases}3m+1=0\\5m+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=-\frac{1}{3}\\m=-\frac{1}{5}\end{cases}}}\)
tương tự
NT
2
12 tháng 3 2021
\(x^2+x+6=y^2\)
\(4x^2+4x+24=4y^2\)
\(\Leftrightarrow y^2-\left(2x+1\right)^2=23\)
\(\Leftrightarrow\left(y+2x+1\right)\left(y-2x-1\right)=23\)
Làm tiếp
\(x^2+x+6=y^2\)
NC
12 tháng 3 2021
\(x^2+x+6=y^2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+23=4y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4y^2=-23\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1-2y\right)\left(2x+1+2y\right)=-23\)
Do x, y nguyên nên (2x+1+2y);(2x+1-2y) là các số nguyên.
TH1: 2x+1+2y=-1 và 2x+1-2y=23
=> x=5,y=-6 (tm)
TH2: 2x+1+2y=1 và 2x+1-2y=-23
=> x=-6,y=6 (tm)
Vậy (x;y) nguyên thoả mãn là (5; -6), (-6;6).