a,\(P=\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}\div\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)\)

\(=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2}\div\left(\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x\left(x-1\right)}\right)\)

\(=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2}\div\left(\frac{x^2-1}{x\left(x-1\right)}+\frac{x}{x\left(x-1\right)}+\frac{2-x^2}{x\left(x-1\right)}\right)\)

\(=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2}\div\left(\frac{x^2-1+x+2-x^2}{x\left(x-1\right)}\right)\)

\(=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2}\div\frac{x+1}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)^2}\times\frac{x\left(x-1\right)}{x+1}\)

\(=\frac{x^2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)}=\frac{x^2}{x-1}\)

b,a,Để \(P\le1\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-1}-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-x+1}{x-1}\le0\)

\(\Leftrightarrow x-1\le0\)

\(\Leftrightarrow x\le1\)

Đặt \(x\left(\frac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\frac{3-x}{x+1}\right)=0\)

TH1 : \(x=0\)

Với ĐKXĐ : \(x\ne-1\)

TH2 : \(\frac{3-x}{x+1}=0\Rightarrow x=3\)

Với \(x\ne-1\)

TH3 : \(x+\frac{3-x}{x+1}=0\Leftrightarrow\frac{x^2+x+3-x}{x+1}=0\)

\(\Rightarrow x^2+3=0\Leftrightarrow x^2=-3\)vô lí 

\(x^2\ge0\forall x;-3< 0\)

A B C D E G H K M

a) Xét \(\Delta ABC\)có:

\(AE=BE\)(giả thiết)

\(AD=CD\)(giả thiết)

\(\Rightarrow DE\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DE//BC\)(tính chất) (1)

Và \(2DE=BC\)(tính chất) (2)

Xét \(\Delta GBC\)có:

\(GH=BH\)(giả thiết)

\(GK=CK\)(giả thiết)

\(\Rightarrow HK\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow HK//BC\)(tính chất) (3)

Và \(2HK=BC\)(tính chất) (4)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow ED//HK\)(5)

Từ (2) và (4)

\(\Rightarrow2DE=2KH\Rightarrow DE=KH\)(6)

Xét tứ giác DEHK có: (5) và (6).

\(\Rightarrow DEHK\)là hình bình hành (điều phải chứng minh)

\(E=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\)

\(=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}\)

AM - GM cho 2 số luôn dương \(\ge\sqrt{\frac{1}{xy}}+\frac{1}{x+y}=1+\frac{1}{x+y}\ge1\)

Dấy ''='' xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

んuﾘ ｲ cái gì vậy Tú :))

\(E=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}\)

\(=x+y+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}+\frac{x+y}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\frac{2}{x+y}+\frac{x+y}{2}\ge2\sqrt{\frac{2}{x+y}\cdot\frac{x+y}{2}}=2\)(1)

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)( xy = 1 ) => \(\frac{x+y}{2}\ge1\)(2)

Cộng (1) và (2) theo vế => MinE = 3

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1

A B C D E F H M N I

a) Xét \(\Delta EAB\)và \(\Delta FAC\)có:

\(\widehat{A}\)chung.

\(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}\left(=90^0\right)\)

\(\Rightarrow\Delta EAB\approx\Delta FAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\)(2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng)(1)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta AEF\)có:

\(\widehat{A}\)chung.

\(\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\)(chứng minh trên)

\(\Rightarrow\Delta ABC\approx\Delta AEF\left(c.g.c\right)\)(điều phải chứng minh)

Từ (1) \(\Rightarrow AB.AF=AC.AE\)(điều phải chứng minh)