\(x^2+y^2+4=xy+2y+2x\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+8=2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+8-2xy-4x-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)

Ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(x-2\right)^2\ge0\forall x;y\)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-2=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=2\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(2;2)

\(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)

Vì \(x,y>0\Rightarrow\left(x+y\right)^3>\left(x+y\right)^2\)

Mà \(\left(x+y\right)^3=\left(x-y-6\right)^2\)

Nên \(\left(x-y-6\right)^2>\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x-y-6\right)^2< 0\) 

\(\Leftrightarrow\left(x+y+x-y-6\right)\left(x+y-x+y+6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-6\right)\left(2y+6\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)< 0\)

Do đó \(x-3\)và \(y+3\)trái dấu với nhau.

Mà \(y>0\Rightarrow y+3>0\)

Do đó \(x-3< 0\Leftrightarrow x< 3\)

Mà \(x>0\)nên \(x\in\left\{1;2\right\}\)

Với \(x=1\)thì phương trinh trở thành:

\(\left(1+y\right)^3=\left(1-y-6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=\left(-y-5\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1=y^2+10y+25\)

\(\Leftrightarrow y^3+3y^2+3y+1-y^2-10y-25=0\)

\(\Leftrightarrow y^3+2y^2-7y-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^3-3y^2\right)+\left(5y^2-15y\right)+\left(8y-24\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(y-3\right)+5y\left(y-3\right)+8\left(y-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+5y+8\right)\left(y-3\right)=0\)

Mà \(y>0\Rightarrow y^2+5y+8>0\), do đó:

\(y-3=0:\left(y^2+5y+8\right)\)

\(\Leftrightarrow y-3=0\)

\(\Leftrightarrow y=3\)(thỏa mãn \(y>0\))

A B C D a b c d

\(AD^2=ba-cd\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{ba-cd}\)

Có thế này thôi ( bạn cần chứng minh không?)

Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\). Chứng minh \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :

\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{c+a+b}=\frac{6^2}{6}=6\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2c^2}=2\sqrt{\left(bc\right)^2}=2\left|bc\right|=2bc\)( b,c > 0 )

=> a( b² + c² ) ≥ 2abc

Tương tự : b( c² + a² ) ≥ 2abc ; c( a² + b² ) ≥ 2abc

Cộng vế với vế các bđt trên ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c 

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHC:
 AB=AC(gt)
$\widehat{BAH}$ =$\widehat{CAH}$ (gt)
AH là cạnh chung
=>$\Delta AHB=\Delta AHC$
b) Từ câu a) =>$\widehat{AHB}$ =$\widehat{AHC}$(2 góc tương ứng)  (*)
Ta có:$\widehat{AHB}$ + $\widehat{AHC}$ =180 độ (**)
Từ (*) và (**) =>$\widehat{AHB}$ =$\widehat{AHC}$ =$\frac{180}{2}$=90 độ
Vậy AH$\perp$BC
c) Từ câu a)=> $\hat{B}$=$\hat{C}$ (2 góc tương ứng);BH=HC(2 cạnh tương ứng)
Ta có:$\widehat{DHB}$=180 độ -$\widehat{BDH}$ -$\widehat{DBH}$
$\widehat{EHC}$=180 độ -$\widehat{HEC}$ -$\widehat{ECH}$
Mà $\hat{B}$=$\hat{C}$ (cmt)
=>$\widehat{DHB}$=$\widehat{EHC}$
=>$\Delta DHB=\Delta EHC$(g.c.g)
=>DB=EC
Ta có:AD=AB-BD
AE=AC-EC
Mà BD=EC;AB=AC
=>AD=AE
Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AEI$
AD=AE (cmt)
$\widehat{DAI}$=$\widehat{EAI}$(gt)
AH là cạnh chung
=>$\Delta ADI$=$\Delta AEI$(c.g.c)
=>$\widehat{AID}$=$\widehat{AIE}$=$\frac{180}{2}$=90(tương tự câu b)
=>AH$\perp$DE
Vì DE$\perp$ AH;BC$\perp$AH,Vậy DE song song BC

@FG★Ĵ❍ƙĔŔᵛᶰ chép mạng lỗi bài kìa,lần sau ghi nguồn vô nhá:)))