Đặt \(a=x^3;b=y^3;c=z^3\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và ta cần tìm GTLN của \(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta được: \(x.x.y\le\frac{x^3+x^3+y^3}{3}=\frac{2x^3+y^3}{3}\)(1) ; \(y.y.x\le\frac{y^3+y^3+x^3}{3}=\frac{2y^3+x^3}{3}\)(2)

Cộng theo vế của 2 BĐT (1) và (2), ta được: \(x^2y+xy^2\le x^3+y^3\)hay \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Kết hợp giả thiết xyz = 1 suy ra \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\); \(\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{y}{x+y+z}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1

Không bik là đơn giản như bạn nói thật không , nhưng mik chx học tới dạng này :v

Không đơn giản thì nói làm gì.

Kẻ đường cao AH (H thuộc BC) => BH/CH=9/16

=> BH=[5:(9+16)]x9=1,8 cm => CH=5-1,8=3,2 cm

\(AH^2=BH.CH=1,8.3,2=5,76\Rightarrow AH=2,4cm\)

\(S_{ABC}=\frac{BC.AH}{2}=\frac{5.2,4}{2}=6cm^2\)

\(x^2-7=6\sqrt{x+5}-30\)

\(\Leftrightarrow x^2-7+30=6\sqrt{x+5}-30+30\)( thêm 30 vào cả 2 vế )

\(\Leftrightarrow x^2+23=6\sqrt{x+5}\)

\(\Leftrightarrow x^4+46x^2+529=36x+180\)

\(\Leftrightarrow x^4-46x^2-36x+349=0\)( vô nghiệm )

a)

Liên tiếp áp dụng HTL, ta có:   \(\hept{\begin{cases}AB.AK=AH^2\\HB.HC=AH^2\end{cases}}\)   

=>   \(AB.AK=HB.HC\)

=> TA CÓ ĐPCM.

b) LIÊN TIẾP ÁP DỤNG HTL TA ĐƯỢC: 

\(\hept{\begin{cases}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.CB\end{cases}}\)

CÓ:   \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.CB}=\frac{HB}{HC}\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

Vl hóa @@, mik còn chx đi hok thêm hóa :v

Hình như đề bài của bạn bị lỗi hệ thống rồi.

Hình như có gì đó sai sai thì phải?

Chứng minh???