Mạn phép xin sửa đề bài này thành tìm x nguyên ạ; nếu sai sót xin ib để lm lại:)

a) đk: \(x\ge0\)

+ Nếu: x không là số chính phương => A vô tỉ (loại)

+ Nếu: x là số chính phương => \(\sqrt{x}+2\) là số nguyên

Khi đó để A nguyên => \(\sqrt{x}+2\inƯ\left(8\right)\) , mà \(\sqrt{x}+2\ge2\left(\forall x\right)\)

=> \(\sqrt{x}+2\in\left\{2;4;8\right\}\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2;6\right\}\Rightarrow x\in\left\{0;4;36\right\}\)

b) đk: \(x\ge0\)

Xét 2 TH như ở trên chứng minh x là số chính phương rồi làm như sau:

Ta có: \(B=\frac{\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}+3}=1+\frac{7}{\sqrt{x}+3}\)

Để A nguyên => \(\frac{7}{\sqrt{x}+3}\inℤ\Rightarrow\sqrt{x}+3\inƯ\left(7\right)\)

Mà, \(\sqrt{x}+3\ge3\left(\forall x\right)\) => \(\sqrt{x}+3=7\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\)

a. \(\frac{8}{\sqrt{x}+2}\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+2\in\left\{\pm8;\pm4;\pm2;\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{-10;-6;-4;-3;-1;0;2;6\right\}\)

Vì Vx lớn hơn hoặc bằng 0 \(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2;6\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;4;36\right\}\)

b. \(B=\frac{\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}+3+7}{\sqrt{x}+3}=1+\frac{7}{\sqrt{x}+3}\)

Để B thuộc Z thì 7 / Vx + 3 thuộc Z

\(\Rightarrow\sqrt{x}+3\in\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Vì Vx lớn hơn hoặc = 0 với mọi x \(\Rightarrow\sqrt{x}=4\)

\(\Rightarrow x=16\)

c,d tương tự

\(\sqrt{x+9}+\sqrt{16-x}=5\Leftrightarrow25+2\sqrt{\left(x+9\right)\left(16-x\right)}=25\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+9\right)\left(16-x\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+9\right)\left(16-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+9=0\\16-x=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-9\\x=16\end{cases}}}\)

\(\orbr{\begin{cases}\left(\sqrt{x+9}+\sqrt{16-x}\right)^2\ge5^2\\55\ge0\left(llđ\right)\end{cases}}\)    

\(x+9+16-x+2\sqrt{\left(x+9\right)\left(16-x\right)}\ge25\)   

\(2\sqrt{-x^2+7x+144}=0\) 

\(\sqrt{-x^2+7x+144}=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}0\ge0\left(llđ\right)\\-x^2+7x+144=0^2\end{cases}}\)    

\(-x^2+7x+144=0\)     

\(\orbr{\begin{cases}x=16\\x=-9\end{cases}}\)

ĐKXĐ: x>=0; x khác 1; x khác 25.

\(A=\frac{x-21}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-5}.\)

=\(\frac{x-21}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}+\frac{\sqrt{x}-5}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}-\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}\)

\(=\frac{x-21+\sqrt{x}-5-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{x-25}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-5\right)\left(\sqrt{x}+5\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}.\)

\(=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-1}.\)

Kết luận: ...

Bài làm:

a) \(\sqrt{3}x-\sqrt{27}=\sqrt{343}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\sqrt{3}=7\sqrt{7}\)

\(\Leftrightarrow x-3=\frac{7\sqrt{21}}{3}\)

\(\Rightarrow x=\frac{9+7\sqrt{21}}{3}\)

b) \(\sqrt{2}x^2-\sqrt{12}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-\sqrt{6}\right)\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\sqrt{6}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2=\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\sqrt{6}}\\x=-\sqrt{\sqrt{6}}\end{cases}}\)

\(\sqrt{4x^2-4x+1}=\sqrt{x^2+10x+25}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=\sqrt{\left(x+5\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=\left|x+5\right|\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=x+5\\2x-1=-\left(x+5\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=x+5\\2x-1=-x-5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-\frac{4}{3}\end{cases}}\)

a) 

\(\sqrt{x+3}+2\sqrt{4\left(x+3\right)}-\frac{1}{3}\sqrt{9\left(x+3\right)}=8\)  

\(\sqrt{x+3}+2\cdot2\sqrt{x+3}-\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{x+3}=8\)    

\(\sqrt{x+3}+4\sqrt{x+3}-\sqrt{x+3}=8\)    

\(4\sqrt{x+3}=8\)          

\(\sqrt{x+3}=2\) 

\(\orbr{\begin{cases}2\ge0\left(llđ\right)\\x+3=2^2\end{cases}}\) 

\(x+3=4\) 

\(x=1\) 

b) 

\(\orbr{\begin{cases}x^2+10x+25\ge0\\4x^2-4x+1=x^2+10x+25\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}\left(x+5\right)^2\ge0\left(lld\right)\\3x^2-6x-24=0\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-\frac{4}{3}\end{cases}}\)        

a) \(\sqrt{\frac{196}{169}}=\frac{14}{13}\)

b) \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}\)

c) \(\sqrt{\frac{0,36}{25}}=\frac{0,6}{5}=\frac{3}{25}\)

d) \(\sqrt{\frac{6,4}{4,9}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{8}{7}\)

a) \(\sqrt{\frac{196}{169}}=\sqrt{\left(\frac{14}{13}\right)^2}=\frac{14}{13}\)

b) \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2}=\frac{8}{5}\)

c) \(\sqrt{\frac{0,36}{25}}=\sqrt{\left(\frac{0,6}{5}\right)^2}=\frac{0,6}{5}=\frac{6}{50}=\frac{3}{25}\)

d) \(\sqrt{\frac{6,4}{4,9}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\sqrt{\left(\frac{8}{7}\right)^2}=\frac{8}{7}\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2}-\sqrt{12+6\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2}-\sqrt{3+6\sqrt{3}+9}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\cdot3\cdot\sqrt{3}+3^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}+3\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{3}-3\right|-\left|\sqrt{3}+3\right|\)

\(=-\left(\sqrt{3}-3\right)-\left(\sqrt{3}+3\right)\)

\(=-\sqrt{3}+3-\sqrt{3}-3\)

\(=-2\sqrt{3}\)

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2}-\sqrt{12+6\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)}-\sqrt{9+6\sqrt{3}+3}\)

\(=3-\sqrt{3}-\sqrt{\left(3+\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=3-\sqrt{3}-3-\sqrt{3}\)

\(=-2\sqrt{3}\)

Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge6\)

Theo giả thiết, ta có a + b + c = 3 nên\(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}=\sqrt{\frac{2\left(a+a+b+c\right)}{a+bc}}=\sqrt{2\left(\frac{a+b}{a+bc}+\frac{a+c}{a+bc}\right)}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}\)(Áp dụng bất đẳng thức \(\sqrt{2\left(x+y\right)}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}\))

Hoàn toàn tương tự, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}\ge\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}\); \(\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\)\(\ge\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+b}{b+ca}}\ge\frac{4\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}}\ge\frac{2\sqrt{2}\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+bc+b+ca}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}\)(*)

Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}\)(**) ; \(\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+bc}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)(***)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức (*), (**) và (***) suy ra \(\sqrt{\frac{a+b}{a+bc}}+\sqrt{\frac{a+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{b+a}{b+ca}}+\sqrt{\frac{b+c}{b+ca}}+\sqrt{\frac{c+a}{c+ab}}+\sqrt{\frac{c+b}{c+ab}}\)\(\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)

Do đó ta có: \(\sqrt{\frac{2\left(a+3\right)}{a+bc}}+\sqrt{\frac{2\left(b+3\right)}{b+ca}}+\sqrt{\frac{2\left(c+3\right)}{c+ab}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\)

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{b+1}}\ge6\)hay \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta được \(\frac{1}{\sqrt{c+1}}+\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(a+b+c+3\right)}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1