ĐKXĐ : \(x\ge0\)

Đặt \(A=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

\(=2011\sqrt{x}-2+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(=2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho hai số dương ta có :

\(2011\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{2011\sqrt{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2011}\)

Do đó : \(A\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)

Vậy \(A_{min}=2\left(\sqrt{2011}-1\right)\) khi \(x=\frac{1}{2011}\)

\(ĐK:x>0\)

Xét biểu thức\(\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-2\left(\sqrt{2011}-1\right)+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)\(=\frac{2011x-2\sqrt{x}+1-2\sqrt{2011x}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)\(=\frac{\left(\sqrt{2011x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}+2\left(\sqrt{2011}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2011x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\ge2\left(\sqrt{2011}-1\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{2011x}=1\Leftrightarrow2011x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2011}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(2\left(\sqrt{2011}-1\right)\), đạt được khi \(x=\frac{1}{2011}\)

Bài làm:

Ta có: \(\left(x+3\right)\left(y+4\right)=3xy\)

\(\Leftrightarrow xy+4x+3y+12-3xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-2xy\right)+\left(6-3y\right)=6\)

\(\Leftrightarrow2x\left(2-y\right)+3\left(2-y\right)=6\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)\left(2-y\right)=6=6.1=\left(-6\right).\left(-1\right)=2.3=\left(-2\right).\left(-3\right)\)

Mà ta thấy \(2x+3\) lẻ với mọi x nguyên nên ta xét các TH sau:

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=1\\2-y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}}\)

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=-1\\2-y=-6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=8\end{cases}}\)

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=3\\2-y=2\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)

+ \(\hept{\begin{cases}2x+3=-3\\2-y=-2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\y=4\end{cases}}\)

Vậy ta có 4 cặp số (x;y) thỏa mãn: ...

Phá tung ra thoi ạ 
\(\Leftrightarrow xy+3y+4x+12=3xy\)

\(\Leftrightarrow4x-2xy-6+3y=-18\)

\(\Leftrightarrow2x\left(2-y\right)-3\left(2-y\right)=-18\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(2-y\right)=-18\)

~~ Lập bảng xét ước là xong :v

??????????????

1) \(\left(5\sqrt{2}+2\sqrt{5}\right)\sqrt{5}-\sqrt{250}\)

\(=5\sqrt{10}-10-5\sqrt{10}\)

\(=-10\)

2) \(\left(\sqrt{28}-\sqrt{12}-\sqrt{7}\right)\sqrt{7}+2\sqrt{21}\)

\(=14-2\sqrt{21}-7+2\sqrt{21}\)

\(=7\)

3) \(\left(\sqrt{99}-\sqrt{18}-\sqrt{11}\right)\sqrt{11}+3\sqrt{22}\) (hẳn đề là như thế này)

\(=33-3\sqrt{22}-11+3\sqrt{22}\)

\(=22\)

hải anh giải phương trình 2 nhé

Điều kiện xác định \(x\ge1\)

\(3\left(x^2-x+1\right)=\left(x+\sqrt{x-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-\sqrt{x-1}\right)\left(x+\sqrt{x-1}\right)=\left(x+\sqrt{x-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x-1}\right)\left(3x-3\sqrt{x-1}-x-\sqrt{x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+\sqrt{x-1}\right)\left(x-2\sqrt{x-1}\right)=0\)(vì x\(\ge\)1 nên \(x+\sqrt{x-1}\ne0\))

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow x=2\)(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình có nghiệm x=2

Ta có:

\(\sqrt{27}-\sqrt{5\frac{1}{3}}+4,5\sqrt{2\frac{2}{3}}+2\sqrt{27}\)

\(=3\sqrt{3}-\sqrt{\frac{16}{3}}+4,5\sqrt{\frac{8}{3}}+6\sqrt{3}\)

\(=9\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{6}\)

\(=\frac{9\sqrt{6}+31\sqrt{3}}{3}\)

\(\sqrt{27}-\sqrt{5\frac{1}{3}}+4,5\sqrt{2\frac{2}{3}}+2\sqrt{27}\)

\(=\sqrt{27}-\sqrt{16.\frac{1}{3}}+4,5.\sqrt{4.\frac{1}{3}}+2\sqrt{27}\)

\(=\sqrt{27}-4\sqrt{\frac{1}{3}}+9\sqrt{\frac{1}{3}}+2\sqrt{27}\)

\(=\sqrt{27}-4\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{27}+2\sqrt{27}\)

\(=4\sqrt{27}-4\sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(=\sqrt{54}-\sqrt{\frac{2}{3}}\)