A B C x y M D E

Với mọi vị trí điểm \(M\in BC\), ta luôn có:

\(S_{MAB}+S_{MAC}=S_{ABC}\)

Vì \(\Delta ABM\)có \(BD\perp AM\)

\(\Rightarrow S_{MAB}=\frac{BD.AM}{2}\)
Vì \(\Delta CAM\)có \(CE\perp AM\)

\(\Rightarrow S_{MAC}=\frac{CE.AM}{2}\)

Do đó \(\frac{BD.AM}{2}+\frac{CE.AM}{2}=S_{ABC}\)

\(\Rightarrow\left(BD+CE\right)AM=2S_{ABC}\)

\(\Rightarrow BD+CE=\frac{2S_{ABC}}{AM}\)

Vì \(S_{ABC}\)không đổi \(\Rightarrow2S_{ABC}\)không đổi.

Do đó \(\left(BD+CE\right)_{max}\Leftrightarrow AM_{max}\) 

Giả sử \(AB\le AC\)thì trong 2 đường xiên AM và AC, thì AM là đường xiên ngắn hơn. Do đó  : \(AM\le AC\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow M\equiv C\).

\(\Rightarrow\)Đường thẳng xy phải dựng là đường thẳng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong 2 cạnh AB hoặc AC thì \(BD+CE\)đạt giá trị lớn nhất.

Vậy...

| x - 1 | + | x - 3 | + x - 4 = 0

Xét ba trường hợp :

+) x < 1

pt <=> -( x - 1 ) - ( x - 3 ) + x - 4 = 0

<=> -x + 1 - x + 3 + x - 4 = 0

<=> -x = 0 <=> x = 0 (tm)

+) 1 ≤ x < 3

pt <=> x - 1 - ( x - 3 ) + x - 4 = 0

<=> 2x - 5 - x + 3 = 0

<=> x - 2 = 0 <=> x = 2(tm)

+) x ≥ 3

pt <=> x - 1 + x - 3 + x - 4 = 0

<=> 3x - 8 = 0 <=> x = 8/3(ktm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 0 ; 2 }

Lớn hơn hoặc bằng hay là bằng?

Đinh Chỉ Tịnh ≥

Ta có :\(\frac{x-1}{2013}+\frac{x-2}{2012}+\frac{x-3}{2011}=\frac{x-4}{2010}+\frac{x-5}{2009}+\frac{x-6}{2008}\)

<=> \(\frac{x-1}{2013}-1+\frac{x-2}{2012}-1+\frac{x-3}{2011}-1=\frac{x-4}{2010}-1+\frac{x-5}{2009}-1+\frac{x-6}{2008}-1\)

<=> \(\frac{x-2014}{2013}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{x-2014}{2011}=\frac{x-2014}{2010}+\frac{x-2014}{2009}+\frac{x-2014}{2008}\)

<=> \(\frac{x-2014}{2013}+\frac{x-2014}{2012}+\frac{x-2014}{2011}-\frac{x-2014}{2010}-\frac{x-2014}{2009}-\frac{x-2014}{2008}=0\)

<=> \(\left(x-2014\right)\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2009}-\frac{1}{2008}\right)=0\)

<=> x - 2014 = 0 (Vì \(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2012}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2010}-\frac{1}{2009}-\frac{1}{2008}\ne0\))

<=> x = 2014

Vậy x = 2014 là nghiệm phương trình

a) 9x² + 4y² = 20xy

<=> 9x² - 20xy + 4y² = 0

<=> 9x² - 18xy - 2xy + 4y² = 0

<=> 9x( x - 2y ) - 2y( x - 2y ) = 0

<=> ( x - 2y )( 9x - 2y ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2y=0\\9x-2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{9}{2}x\end{cases}}\)

Vì y < 3/2x => y = 1/2x

Từ đây bạn tự thay vào nhớ

b) Thêm điều kiện a,b,c là các số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng vế với vế các bđt trên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

A B C H F E D

gọi F là giao AH và BC

vì tam giác ABC có 2 đường cao CE và BD cắt nhau tại H

=> H là trực tâm tam giác ABC

=>AH vuông góc với BC    hay AF vuông góc với BC

Xét tam giác BHF và tam giác BCD có:

             góc HBF chung

             góc BCD=góc BFH=90 độ(gt)

=>tam giác BHF đồng dạng với tam giác BCD(g-g)

=>BH/BF = BC/BD

=>BH.BD=BF.BC    (1)

Xét tam giác CFH và tam giác CEB có:

                góc HCF chung

                góc CFH=góc CEB=90 độ(gt)

=>tam giác CFH đồng dạng tam giác CEB(g-g)

=>CH/CF = CB/CE

=>CH.CE=CF.CB    (2)

Từ (1),(2) => BH.BD+CH.CE=BF.BC+CF.CB

                                              =BC.(CF+BF)=BC.BC=BC² (đpcm)