Bạn nhìn hình của cô nhé:

Xét \(\Delta BEN\)và\(\Delta BEC\)Ta có:

          BE chung

          góc CEB= góc NBE(do be là phân giác góc B)

=>\(\Delta BEN=\Delta BEC\left(CH-GN\right)\)

=> BN=BC(c.t.ứ)

=>\(\Delta BCN\) cân ở B => góc CNB = góc NCB =\(\frac{180^0-gócABC}{2}\)

bằng cách chứng minh tương tự:

góc AMC=góc ACM = \(\frac{180^0-gócBAC}{2}\)

=> góc AMC + góc CNB =\(\frac{180^0-gócABC+180^0-gócBAC}{2}=\frac{360^0-90^0}{2}=135^0\)(do tam giác ABC vuông ở C)

Mà góc MCN+góc AMC + góc CNB=180⁰

=>góc MCN =35⁰

C B A D E M N 1 2 3

+) Vì AD là phân giác của góc A ; DM là khoảng cách từ D xuống cạnh AB; DC là khoảng cách từD xuống cạnh AC

=> DM = DC

=> tam giác DCM cân tại D 

=> góc C₁ = \(\frac{180^o-CDM}{2}\)

Mà góc CDM là góc ngoài của tam giác DMB => góc CDM = DBM + BMD = DBM + 90^o

=> Góc C₁ = \(\frac{180^o-CDM}{2}=\frac{180^o-\left(DBM+90^o\right)}{2}=\frac{90^o-DBM}{2}\) (1)

+) Tương tự, BE là phân giác của góc B 

=> EC = EN => tam giác ACN cân tại E

=> Góc C₃ = \(\frac{180^o-CEN}{2}\)

mà góc CEN = EAN + ANE = EAN + 90^o

=> góc C₃ = \(\frac{180^o-CEN}{2}=\frac{180^o-\left(EAN+90^o\right)}{2}=\frac{90^o-EAN}{2}\) (2)

+)  góc MCN = 90^o - (C₁ + C₃). Từ (1)(2)

=> Góc MCN =  90^o -  (\(\frac{90^o-DBM}{2}\) + \(\frac{90^o-EAN}{2}\) )

= 90^o -  \(\frac{180^o-\left(DBM+EAN\right)}{2}\) =  90^o -  \(\frac{180^o-90^o}{2}\) = 45^o

a = 1v co nghĩa a là góc vuông

A B C H M D I E 1 1 2

a) Tam giác ABC vuông tại A có: AM là trung tuyến => AM = BC/2

Ta có: MB = MC = BC/2 (M là trung điểm của BC)

MA = MD (gt)

=> MA = MB = MC = MD

=> tam giác MAB cân tại M ; tam giác MCD cân tại M

=> góc B = \(\frac{180^o-AMB}{2}\); góc \(C_1=\frac{180^o-CMD}{2}\)

Mà góc AMB = CMD (đối đỉnh)

=> góc B = góc C₁ mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> CD // AB mà AB vuông góc với AC

=> CD vuông góc với AC

b) CD vuông góc với AC mà IE // AC => ID vuông góc với IE => góc EID = 90^o

Mà tam giác ACI vuông cân tại C (do CI = CA; góc ACI = 90^o)

=> góc CIA = 45^o

=> góc AIE = góc EID - CIA = 90^o - 45^o = 45^o

+) Vì AC // EI => góc CAE + AEI = 180^o (2 góc trong cùng phía)

hay góc CAI + IAE + AEI = 180^o   => 45^o + IAE + AEI = 180^o   (1)

+) Tương tự, ID // AB => góc CIA + IAB = 180^o (2 góc trong cùng phía)

hay góc CIA + IAD + DAB = 180^o =>  45^o + IAD + DAB = 180^o    (2)

+) Vì AC // EI => góc AEI = A₁ (2 góc đồng vị)

Mà góc A₁ + C₂ = 90^o (do tam giác AHC vuông tại H)

góc B + C₂ = 90^o (do tam giác ABC vuông tại A)

=> góc A₁ = B

=> góc AEI = góc B mà góc B = DAB (do tam giác MAB cân tại M)

=> góc AEI = góc DAB (3)

Từ (1)(2) (3)  => góc EAI = IAD 

Lại có cạnh chung AI; góc AIE = AID (cùng = 45^o)

=> tam giác DAI = EAI (g - c - g)

c) tam giác DAI = EAI => AD = AE mà AD = BC (vì cùng bằng 2 lần MA)

=> AE = BC 

A B C K G E M D

Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh: \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA

*) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA

+) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK 

Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC

+) Xét  tam giác ABK có: AK < AB +BK   mà AK = 2.AM ; BK = AC

=> 2.AM < AB + AC          (1)

Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC  (2)

                        2.CE < AC + BC   (3)

Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA)

=> AM + BD + CE < AB + BC + CA

*) Chứng minh:  \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA) < AM + BD + CE 

+) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB

mà AG = \(\frac{2}{3}\).AM ; BG = \(\frac{2}{3}\).BD (do G là trong tâm tam giác ABC)

=> \(\frac{2}{3}\).(AM + BD) > AB

+) Tương tự, ta có: \(\frac{2}{3}\)(AM + CE) > AC; \(\frac{2}{3}\)(BD + CE) > BC

=> \(\frac{2}{3}\).2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA

<=> \(\frac{4}{3}\) (AM + BD + CE) > AB + BC + CA

=> AM + BD + CE > \(\frac{3}{4}\)(AB + BC + CA)

=> ĐPCM

Xét tam giác ABC như hình vẽ. ta cần chứng minh:  4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh: AM + BD + CE < AB + BC + CA +) Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK  Khi đó, dễ dàng => tam giác BMK = CMA (c - g - c) => BK = AC +) Xét  tam giác ABK có: AK < AB +BK   mà AK = 2.AM ; BK = AC => 2.AM < AB + AC          (1) Tương tự, ta có: 2.BD < AB + BC  (2)                         2.CE < AC + BC   (3) Cộng từng vế của (1)(2)(3) => 2.(AM + BD + CE) < 2. (AB + BC + CA) => AM + BD + CE < AB + BC + CA *) Chứng minh:   4 3 (AB + BC + CA) < AM + BD + CE  +) Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB mà AG =  3 2 .AM ; BG =  3 2 .BD (do G là trong tâm tam giác ABC) =>  3 2 .(AM + BD) > AB +) Tương tự, ta có:  3 2 (AM + CE) > AC;  3 2 (BD + CE) > BC =>  3 2 .2. (AM + BD + CE) > AB + BC + CA <=>  3 4  (AM + BD + CE) > AB + BC + CA => AM + BD + CE >  4 3 (AB + BC + CA) => ĐPC

ta dùng pháp phản chứng  

giả sử tồn tại 2 số hữu tỉ x và y  trái dấu thỏa mãn đẳng thức \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

=> \(\frac{1}{x+y}=\frac{y+x}{xy}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\) = xy

điều này vô lí vì \(\left(x+y\right)^2\) > 0 còn xy < 0( vì x và y trái dấu , không đối nhau)

vậy không tồn tại 2 số hữu tỉ x và y trái dấu , không đối nhau thảo mãn đề bài

=>

=>

=>

mà 

=>  => ko tồn tại x,y trái dấu

x = 1 là nghiệm của Q(x) => Q(1) = 0

Q(1) = -2 + m - 7m + 3 = -6m +1

=> -6m + 1 = 0 <=> 6m = 1 <=> m = 1/6

Vậy với  m = 1/6 thì Q(x) có 1 nghiệm là x = 1

Đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}=k\)

=>x=2k

y=5k

z=3k

Ta có: x²+2y²+z²=20

=>(2k)²+2.(5k)²+(3k)²=20

=>4k²+50k²+9k²=20

=>63k²=20

=>k²=20/63

Đến đây bạn tự giải nha!
 

đặt \(\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}=k\)

=> x = 2k; y = 5k ; z = 3k

Theo bài cho: \(x^2+2y^2+z^2=20\)

=> (2k)² + 2. (5k)² + (3k)² = 20

=> 4k² + 50.k² + 9k² = 20

=> 63.k² = 20 => k² = \(\frac{20}{63}\) => k = \(\sqrt{\frac{20}{63}}\) hoặc k = - \(\sqrt{\frac{20}{63}}\)

+) Với k = \(\sqrt{\frac{20}{63}}\) 

=> x = 2\(\sqrt{\frac{20}{63}}\); y = 5\(\sqrt{\frac{20}{63}}\); z = 3\(\sqrt{\frac{20}{63}}\)

+) Với k = - \(\sqrt{\frac{20}{63}}\)

=> x = -2\(\sqrt{\frac{20}{63}}\); y = -5\(\sqrt{\frac{20}{63}}\); z = -3\(\sqrt{\frac{20}{63}}\)

Ta có : \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\Rightarrow\frac{x-1}{2}=\frac{2\left(y-2\right)}{2.3}=\frac{3\left(z-3\right)}{3.4}\)(Bằng cách nhân tử và mẫu cho 1 số).

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau , ta được :

\(\frac{x-1}{2}=\frac{2.\left(y-2\right)}{2.3}=\frac{3.\left(z-3\right)}{3.4}=\frac{\left(x-1\right)-2\left(y-2\right)+3\left(z-3\right)}{2-2.3+3.4}=\frac{x-1-2y+4+3z-9}{8}=\frac{\left(x-2y+3z\right)-1+4-9}{8}\).

Mà \(x-2y+3z=0\) (gt).

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2y+3z\right)-1+4-9}{8}=\frac{0-1+4-9}{8}=\frac{-3}{4}\).

Do đó : \(\frac{x-1}{2}=\frac{-3}{4}\Leftrightarrow x=-0.5\) .

            \(\frac{2\left(y-2\right)}{2.3}=\frac{-3}{4}\Leftrightarrow y=-0.25\) .

            \(\frac{3\left(z-3\right)}{3.4}=\frac{-3}{4}\Leftrightarrow z=0\) .

Vậy : x=-0.5     ;   y=-0.25     ; z=0

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}\Rightarrow\frac{x-1}{2}=\frac{2y-4}{6}=\frac{3z-9}{12}\)

và x-2y+3z=0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{2y-4}{6}=\frac{3z-9}{12}=\frac{x-1-2y+4+3z-9}{2-6+12}=\frac{0-1+4-9}{8}=-\frac{3}{4}\)

=>\(\frac{x-1}{2}=-\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Tương tự y= -1/4

z=0

\(M=\left(x^3+x^2y-2x^2\right)-\left(xy+y^2-2y\right)+y+x-1\)

\(M=x^2\left(x+y-2\right)-y\left(x+y-2\right)+\left(y+x-2\right)+1\)

Mà \(x+y-2=0\) nên

\(M=x^2.0-y.0+0+1=1\)

Giá trị của đa thức \(M=1\)

~~~ Chúc bạn học giỏi ~~~

2 số này có cơ số giống nhau, số mũ khác nhau nên để chúng bằng nhau thì cơ số 2 số này phải đều bằng 0

ta có:  (x−1)^x+2  =  (x−1)^x+6. = 0

=>  x - 1 = 0

=> x = 0 + 1 = 1

(x-1)^x+2=(x-1)^x+6

(x-1)^x+2-(x-1)^x+6=0

(x-1)*(1^x+2-1^x+6)=0

1^x+2-x+6=0/(x-1)

=> x khác 1

1^x+2-x+6=0

=> x=0