a)  $ABCD$ là hình bình hành.

b)  $P,N,Q$ thẳng hàng.

c) $\Delta ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

a) Chứng minh $MCDN$ là hình thoi.

b) Chứng minh $ABMD$ là hình thang cân và $AM=BD.$

c) $DM$ kéo dài cắt $AB$ tại $K.$ Chứng minh $AM,DB,KN$ đồng quy.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

Ta có $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại trung điểm của mỗi đường nên $BD$ là trung trực của $AC$

Suy ra $GA=GC,HA=HC$ $\left(1\right)$

Và $AC$ là trung trực của $BD$ suy ra $AG=AH,CG=CH$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $AG=GC=CH=HA$ nên $AGCH$ là hình thoi.

a) $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.

Xét $\Delta OBM$ và $\Delta ODP$ có:

     $OB=OD$ ( giả thiết)

     ���^=���^OBM=ODP (so le trong)

     ���^=���^BOM=DOP (đối đỉnh)

Vậy $\Delta OBM=\Delta ODP$ (g.c.g)

Suy ra $OM=OP$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự $\Delta OAQ=\Delta OCN$ (g.c.g) suy ra $OQ=ON$ (hai cạnh tương ứng)

$MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành $MNPQ$ có hai đường chéo $MP\perp NQ$ nên là hình thoi.

a) $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.

Xét $\Delta OBM$ và $\Delta ODP$ có:

     $OB=OD$ ( giả thiết)

     ���^=���^OBM=ODP (so le trong)

     ���^=���^BOM=DOP (đối đỉnh)

Vậy $\Delta OBM=\Delta ODP$ (g.c.g)

Suy ra $OM=OP$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự $\Delta OAQ=\Delta OCN$ (g.c.g) suy ra $OQ=ON$ (hai cạnh tương ứng)

$MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành $MNPQ$ có hai đường chéo $MP\perp NQ$ nên là hình thoi.

a) Tứ giác $DKMN$ có �^=�^=�^=90∘D=K=N=90∘ nên là hình chữ nhật.

b) Vì $DKMN$ là hình chữ nhật nên $DF$ // $MH$

Xét $\Delta KFM$ và $\Delta NME$ có:

     �^=�^=90∘K=N=90∘

     $FM=ME$ ( giả thiết)

     ���^=�^KMF=E (đồng vị)

Vậy $\Delta KFM=\Delta NME$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra $KF=MN$ (hai cạnh tương ứng) mà $MN=DK$ nên $DF=2DK$ và $MH=2MN$.

Do đó $DF=MH$.

Tứ giác $DFMH$ có $DF$ // $MH,DF=MH$ nên là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo $DM,FH$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường hay $F,O,H$ thẳng hàng.

c) Để hình chữ nhật $DKMN$ là hình vuông thì $DK=DN$ $\left(1\right)$

Mà ��=12��DK=21​DF và $DN=KM=NE$ nên ��=12��DN=21​DE $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $DF=DE$.

Vậy $\Delta DFE$ cần thêm điều kiên cân tại $D$.

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

Vậy��=

a) Vì $AB=2BC$ suy ra ��=��2=��BC= AB/2=AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 độ

Tương tự góc ICK = 45 độ

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 độ nên là tam gaic vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic  vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt  nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI/2 và IR=RK=IC/2

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

\(AB=BC=CD=AD\) 

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AM+MB\\BC=BN+NC\\CD=CP+PD\\AD=DQ+QA\end{matrix}\right.\) 

Lại có: \(AM=BN=CP=DQ\)

\(\Rightarrow MB=NC=PD=QA\left(dpcm\right)\) 

b) Xét \(\Delta QAM\) và \(\Delta NCP\) có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^o\left(gt\right)\)

\(AM=CP\left(gt\right)\)

\(QA=NC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP\left(c.g.c\right)\) 

c) Xét các tam giác: \(\Delta QAM,\Delta NCP,\Delta PDQ,\Delta MBN\) ta có:

\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o\left(gt\right)\)

\(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\)

\(MB=NC=PD=QA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP=\Delta PDQ=\Delta MBN\left(c.g.c\right)\) 

\(\Rightarrow MQ=QP=PN=NM\) (các cạnh tương ứng) 

\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thoi (1)

Xét tam giác QAM ta có:

\(\widehat{QMA}+\widehat{AQM}=180^o-90^o=90^o\) 

Mà: \(\Delta QAM=\Delta MBN\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{AQM}\) (hai góc tương ứng) 

\(\Rightarrow\widehat{BMN}+\widehat{QMA}=90^o\)

Lại có: \(\widehat{BMN}+\widehat{QMA}+\widehat{NMQ}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NMQ}=180^o-90^o=90^o\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông 

a) $ABCD$ là hình vuông nên $AB=BC=CD=DA$

Mà $AM=BN=CP=DQ$.

Trừ theo vế ta được $AB-AM=BC-BN=CD-CP=DA-DQ$

Suy ra $MB=NC=PD=QA$

Xét tam giác QAM và tam giác NPC có:

góc A = góc C = 90 độ

AQ=NC(cmt)

AM=CP(gt)

=>Tam giác QAM= tam giác NPC(c.g.c)

c)=> NP = MQ ( hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự như phần b ta có: Tam giác QAM= tam giác PDQ và tam giác QAM= tam giác MBN

Khi đó: MQ=PQ, MN=MQ và góc AMQ= góc DQP

Mà góc AMQ+AQM=90 độ

=>góc DQP+ góc AQM= 90 độ

Do đó góc MQP = 90 độ

tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi

Lại có góc MQP = 90 độ nên là hình vuông

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông

Xét hbh ABCD có AB =CD;AB//CD

+) $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$

$=>AM=CN$

$+)M,N$ lần lượt là nằm trên của $AB,CD$

       => AM//CN

a) $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=DC$ suy ra 12��=12��21​AB=21​DC

Do đó $AM=BM=DN=CN$.

Tứ giác $AMCN$ có $AM$ // $NC,AM=NC$ nên là hình bình hành.

Lại có $\Delta ADC$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến nên ��=12��=��=��AN=21​DC=DN=CN.

Hình bình hành $AMCN$ có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo $AC,MN$ vuông góc với nhau.

Tứ giác $AMCN$ là hình thoi.

a/

Ta có

IA=IC (gt); IM=IK (gt) => AMCK là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

Ta có

MB=MC (gt); IA=IC (gt) => MI là đường trung bình của tg ABC => MI//AB

Mà \(AB\perp AC\) 

\(\Rightarrow MI\perp AC\Rightarrow MK\perp AC\)

=> AMCK là hình thoi (Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)

b/

Ta có

MI//AB (cmt) => MK//AB

AK//MC (cạnh đối hbh AMCK) => AK//MB

=> AKMB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

c/

Để AMCK là hình vuông \(\Rightarrow AM\perp BC\) => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM là trung tuyến của tg ABC (gt)

=> ABC cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

=> Để AMCK là hình vuông thì tg ABC vuông cân tại A

a) Tứ giác $AMCK$ có hai đường chéo $AC,MK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên $AM=MC=MB$.

Vậy hình bình hành $AMCK$ có $AM=MC$ nên là hình thoi.

b) Vì $AMCK$ là hình thoi nên $AK$ // $BM$ và $AK=MC=BM$.

Tứ giác $AKMB$ có $AK$ // $BM,AK=BM$ nên là hình bình hành.

c) Để $AMCK$ là hình vuông thì cần có một góc vuông hay $AM\perp MC$.

Khi đó $\Delta ABC$ có $AM$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên cân tại $A$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AMCK$ là hình vuông.