Cho hai đường tròn (O), (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, $B\in \left(O\right);C\in \left(O^{\prime }\right)$. Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I. Chứng minh OO' là tiếp tuyến của I

Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm giữa đoạn thẳng AB, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD và BMEF.

a)     Chứng minh: ∆AME = ∆CMB

b)    Gọi N là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp ∆AMC và ∆BME.

 Chứng minh:  A, E, N thẳng hàng

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến AB đến (O)
với B là tiếp điểm. Vẽ dây cung BC của (O) vuông góc với OA tại H.
a) Chứng minh: góc BOH = góc COH và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) 
b) Gọi M là trung điểm của OB, OC và AM cắt nhau tại N. Đường tròn tâm I có AC là đường kính cắt

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường tròn (O) đường kính AC. Vẽ dây AD của đường
tròn (O) sao cho AD vuông góc với OB tại H.
a) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của (O)
b) Đường tròn (O) cắt BC tại E. Chứng minh: \(DB^2=BE.BC\) và góc BDE = góc BCD
c) BO cắt AE tại I, BC cắt AD tại M, tia MI cắt AB tại N. Chứng minh: I là trung điểm của MN
 

Let I be the incentre of acute triangle ABC with \(AB\ne AC\). The incircle \(\omega\)of ABC is tangent to sides BC, CA and AB at D, E, F respectively. The line through D pependicular to EF meets \(\omega\)again at R. Line AR meets \(\omega\)again at P. The circumcircles of triangles PCE and PBF meet again at Q. Prove that lines DI and PQ meet on the line through A perpendicular to AI.