ĐKXĐ : \(y+\frac{1}{y}\ge0;y\ne0\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x^2+1}=y+\frac{1}{y^2+1}\left(1\right)\\x^2+2x.\sqrt{y+\frac{1}{y}}=8x-1\left(2\right)\end{cases}}\)              

(1) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)-\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\right)=0\) 
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=0\\1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\end{cases}}\) 

Với x = y thay vào (2) ; ta có : \(x^2+2x\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8x-1\) 

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x+\frac{1}{x}}=8-\frac{1}{x}\) ( vì x =  y mà y khác 0 => x khác 0 ) 

Đặt \(a=\sqrt{x+\frac{1}{x}}\) rồi giải p/t

Với : \(1-\frac{x+y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\) \(\Leftrightarrow\frac{x^2y^2+y^2+x^2+1-x-y}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}+x^2y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}=0\)

Dễ thấy : VT > 0 => PTVN 

.... 

Câu 11.12. 

Kẻ đường cao \(AH,BK\).

Do tam giác \(\Delta AHD=\Delta BKC\left(ch-gn\right)\)nên \(DH=BK\).

Đặt \(AB=AH=x\left(cm\right),x>0\).

Suy ra \(DH=\frac{10-x}{2}\left(cm\right)\)

Xét tam giác \(AHD\)vuông tại \(H\):

\(AD^2=AH^2+HD^2=x^2+\left(\frac{10-x}{2}\right)^2\)(định lí Pythagore) 

Xét tam giác \(DAC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\):

\(AD^2=DH.DC=10.\left(\frac{10-x}{2}\right)\)

Suy ra \(x^2+\left(\frac{10-x}{2}\right)^2=10.\frac{10-x}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=2\sqrt{5}\)(vì \(x>0\))

Vậy đường cao của hình thang là \(2\sqrt{5}cm\).

Câu 11.11. 

Kẻ \(AE\perp AC,E\in CD\).

Khi đó \(AE//BD,AB//DE\)nên \(ABDE\)là hình bình hành. 

Suy ra \(AE=BD=15\left(cm\right)\).

Kẻ đường cao \(AH\perp CD\)suy ra \(AH=12\left(cm\right)\).

Xét tam giác \(AEC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\): 

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{12^2}-\frac{1}{15^2}=\frac{1}{400}\)

\(\Rightarrow AC=20\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.15.20=150\left(cm^2\right)\),

$S_{ABC}=S_{ADB}+S_{ADC}$

<=>$bc.sinA=AD\cdot c\cdot sin\frac{A}{2}+AD\cdot b\cdot sin\frac{A}{2}$

<=>$bc.sinA=AD\cdot sin\frac{A}{2}\left(b+c\right)$

<=>$bc.sin2\alpha =AD\cdot sin\alpha \left(b+c\right)$

<=>$2bc.sin\alpha .cos\alpha =AD\cdot sin\alpha \left(b+c\right)$

<=>$AD=\frac{2bc\cdot cos\alpha }{b+c}$ (dpcm)

a) Xét tam giác HAB và tam giác ABC có:

Góc AHB= góc BAC (= 90⁰ )

B> là góc chung

⇒ tam giác HAB ~ tam giác ABC (g.g)

b) Xét ΔΔ ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²
Hay BC² = 12² + 16²
BC² = 144 + 256 = 400
=> BC = √400 = 20 (cm)
Ta có : Δ HAB ∼ Δ ABC
=> $\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{BC}$
Hay $\frac{HA}{12}=\frac{12}{20}$
=> AH = $\frac{12.12}{20}=7,2$ cm

c) 

Ta có

DE là tia phân giác của góc ADB trong tam giác DAB,

áp dụng t/c tia phân giác thì$\frac{DA}{DB}=\frac{AE}{EB}$

DG là tia phân giác cảu góc CDA trong tam giác CDA.

áp dụng t/c tia phân giác thì $\frac{CD}{DA}=\frac{CF}{FA}$

VẬy $\frac{EA}{EB}.\frac{DB}{DC}.\frac{FC}{FA}=\frac{DA}{DB}.\frac{DB}{DC}.\frac{CD}{DA}=1$(dpcm)

Xét tam giác \(ABD\)vuông tại \(A\):

\(BD^2=AB^2+AD^2\)(định lí Pythagore) 

\(=4^2+10^2=116\)

\(\Rightarrow BD=\sqrt{116}=2\sqrt{29}\left(cm\right)\)

Lấy \(E\)thuộc \(CD\)sao cho \(AE\perp AC\)

Suy ra \(ABDE\)là hình bình hành. 

\(AE=BD=2\sqrt{29}\left(cm\right),DE=AB=4\left(cm\right)\).

Xét tam giác \(AEC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AD\):

\(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AD^2}-\frac{1}{AE^2}=\frac{1}{100}-\frac{1}{116}=\frac{1}{715}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{715}\left(cm\right)\)

\(AE^2=ED.EC\Leftrightarrow EC=\frac{AE^2}{ED}=\frac{116}{4}=29\left(cm\right)\)suy ra \(DC=25\left(cm\right)\)

Hạ \(BH\perp CD\).

\(BC^2=HC^2+BH^2=21^2+10^2=541\Rightarrow BC=\sqrt{541}\left(cm\right)\)

\(S_{ABCD}=\left(AB+CD\right)\div2\times AD=\frac{4+25}{2}\times10=145\left(cm^2\right)\)

A B C H

Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC:

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{100^2-60^2}\)

\(\Rightarrow AB=80\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABC= AB+AC+BC=80+60+100=240(cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đương cao AH có:

+ \(AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{80.60}{100}\)

\(\Rightarrow AH=48\left(cm\right)\)

+ \(BH=\frac{AB^2}{BC}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{80^2}{100}=64\left(cm\right)\)

 \(CH=BC-BH\)

\(\Rightarrow CH=100-64=36\left(cm\right)\)

Chu vi tam giác ABH= AB+BH+AH=80+64+48=192(cm)

Chu vi tam giác ACH=AC+CH+AH=60+36+48=144(cm)

Ta có \(\Delta HBA\approx\Delta HAC\Rightarrow\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\)

=> HB.HC = HA²

=> 2HB.HC = \(\frac{288}{25}\)

mà HB + HC = BC =  5 (1)

=> HB² + HC² + 2HB.HC = 25

<=> HB² + HC² - 2.HB.HC = 1,96

<=> HB - HC = 1,4 (2)

Từ (1) và (2) => HB = 3,2 ; HC = 1,8

Mình hỏi tý nè :

Sao cái tam giác ABC vuông tại A rồi thì AB là chiều cao chứ ạ. Hì hì mình nói có gì sai mọi người bảo mình nha.

12 5 là j zợ?

Áp dụng đ/lí pytago vào tam giác ABC vuông tại A CÓ:

AB^2+AB^2=BC^2

Hay: 12^2+5^2=169=BC^2 => BC=13cm

ÁP dụng hệ thức ta có: +) AB^2=BH.BC

Hay: BH=AB^2:BC=144:13 =144/13(cm)

Ta có CH=BC-BH=13-144/13=25/13(cm)

DO KHÔNG RÕ CÂU HỎI NÊN MÌNH CŨNG KO CHẮC LẮM...

HỌC TỐT!!!

Trong các hàm số trên, các hàm số bậc nhất là: 

\(y=25\left(x+5\right),y=\frac{10x+7}{9}\).

ĐK: \(x\ge\frac{1}{6}\).

\(\sqrt{3x+3}-\sqrt{6x-1}+18x^2-3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+3}-2\right)-\left(\sqrt{6x-1}-1\right)+18x^2-3x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x+3-4}{\sqrt{3x+3}+2}-\frac{6x-1-1}{\sqrt{6x-1}+1}+\left(3x-1\right)\left(6x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3x+3}+2}-\frac{2}{\sqrt{6x-1}+1}+6x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3x-1=0\)(vì \(\frac{1}{\sqrt{3x+3}+2}-\frac{2}{\sqrt{6x-1}+1}+6x+1>0\)với \(x\ge\frac{1}{6}\))

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)(thỏa mãn) 

x = 1/3 là nghiệm của p/t 

ĐKXĐ : \(x\ge\frac{1}{6}\) > 0 

Pt đã cho \(\Leftrightarrow\sqrt{3x+3}-2+\left(18x^2-6x\right)+3x-\sqrt{6x-1}=0\)  = 0 

\(\Leftrightarrow\frac{3x+3-4}{\sqrt{3x+3}+2}+6x\left(3x-1\right)+\frac{9x^2-\left(6x-1\right)}{3x+\sqrt{6x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x-1}{\sqrt{3x+3}+2}+6x\left(3x-1\right)+\frac{\left(3x-1\right)^2}{3x+\sqrt{6x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{3x+3}+2}+6x+\frac{3x-1}{3x+\sqrt{6x+1}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-1\right).A=0\) (1) 

Thấy với \(x\ge\frac{1}{6}\)::  \(\frac{3x-1}{3x+\sqrt{6x+1}}+1=\frac{6x+\sqrt{6x+1}-1}{3x+\sqrt{6x+1}}>0\) 

\(6x-1\ge0\); \(\frac{1}{\sqrt{3x+3}+2}>0\) 

Suy ra : \(A>0\) (2)

(1) ; (2) suy ra : x = 1/3