\(4x^2+12x+9=\left(2x+3\right)^2\)

\(25x^2+10x+5=\left(5x+1\right)^2+4\)( bạn xem lại đề )

\(x^2+6x+9x^2=10x^2+6x=2x\left(5x+3\right)\)

\(25x^2+10xy+y^2=\left(5x+y\right)^2\)

a) (x² - 2x + 2)(x² - 2)(x²  + 2x + 2)(x² + 2) = [(x² + 2)² - 4x²](x⁴ - 4) = (x⁴ + 4x² + 4 - 4x²)(x⁴ - 4) = (x⁴ + 4)(x⁴ - 4) = x⁸ - 16

b) (x + 1)³ + (x - 1)³ + x³ - 3x(x + 1)(x - 1) = x³ + 3x² + 3x + 1 + x³ - 3x² + 3x - 1 + x³ - 3x(x² - 1)

 = 3x³ + 6x - 3x³ - 3x = 3x

c) (a + b + c)² + (a + b - c)² + (2a - b)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac + 4a² - 4ab + b²

= 6a²  + 3b² + 2c²

d) 100² - 99² + 98² - 97² + ... + 2² - 1

= (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + (96 - 95)(96+ 95) + ... + (2 - 1)(2 + 1)

= 199 + 195 + 191 + ... + 3

= [(199 - 3) : 4 + 1](199 + 3) : 2

= 50.202 : 2

= 5050

e) 3(2² + 1)(2⁴ + 1) ...(2⁶⁴ + 1) + 1 = (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)...(2⁶⁴ + 1) + 1

= (2⁴ - 1)(2⁴ + 1)...(2⁶⁴ + 1) + 1

....

= (2⁶⁴ - 1)(2⁶⁴ + 1) + 1

= 2¹²⁸ - 1 + 1 = 2¹²⁸

f) (a + b + c)² + (a + b - c)² - 2(a + b)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac + a² + b² + c² + 2ab - 2bc - 2ac - 2a² - 2b² - 4ab = 2c²

ta có

\(y\left(4+5x\right)=3-3x\) vì x nguyên nên : \(4+5x\ne0\Rightarrow y=\frac{3-3x}{4+5x}\Rightarrow5y=\frac{15-15x}{4+5x}\)

hay \(5y=\frac{27-3\left(4+5x\right)}{4+5x}=\frac{27}{4+5x}-3\)

ta có \(\frac{27}{4+5x}\text{ là số nguyên đồng thời }\frac{27}{4+5x}-3\text{ chia hết cho 5}\)

nên \(\frac{27}{4+5x}\in\left\{-27,3\right\}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\Rightarrow y=-6\\x=1\Rightarrow y=0\end{cases}}\)

\(x\left(3+5y\right)+4y=3\)

\(5x\left(3+5y\right)+20y=15\)

\(5x\left(3+5y\right)+20y+12=27\)

\(5x\left(3+5y\right)+4\left(5y+3\right)=27\)

\(\left(5x+4\right)\left(5y+3\right)=27\)

lập bảng ra bạn tự làm nốt nha

Điều kiện xác định : \(x\ge5\)

ta có : \(\frac{3\sqrt{x-5}}{2}-\frac{2\sqrt{x}-7}{3}=\sqrt{x}-1\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x-5}}{2}=\frac{5\sqrt{x}-10}{3}\)

\(\Leftrightarrow9\sqrt{x-5}=10\left(\sqrt{x}-2\right)\Leftrightarrow81\left(x-5\right)=100\left(x-4\sqrt{x}+4\right)\)

\(\Leftrightarrow19x-400\sqrt{x}+805=0\) tới đây đặt căn x = a rồi giải phương trình bậc hai nhé

a + b + c = 0

=> (a + b + c)² = 0

<=> a² + b² + c²  + 2(ab + bc + ca) = 0

<=> ab + bc + ca = -1

=> (ab + bc + ca)² = 1

<=> (ab)² + (bc)² + (ca)² + 2a²bc + 2ab²c + 2c²ab = 1

<=> (ab)² + (bc)² + (ca)² + 2abc(a + b + c ) = 1

<=> (ab)² + (bc)² + (ca)² = 1

Lại có a² + b² + c² = 2

=> (a² + b²  + c²)²  =4

<=> a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2[(ab)² + (bc)² + (ca)²] = 4

<=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2

Ta có : \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=1\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2a^2bc+2ab^2c+2bc^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2=1\)

Lại có : \(a^2+b^2+c^2=2\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(ab\right)^2+2\left(bc\right)^2+2\left(ca\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left[\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\right]=4\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2=4\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\)

A B C H E F M N P

a) Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: AP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ( P là trung điểm BC)

=> AP= 1/2 BC

mà PC =1/2 BC (  P là trung điểm BC)

nên AP = PC

Xét tứ giác AECP ta có;

N là trung điểm AC (gt)

N là trung điểm EP ( E đối xứng P qua N)

=> tứ giác AECP là hình bình hành 

mà AP= PC ( cmt)

nên hình bình hành AECP là hình thoi)

b) Xét tam giác AMF và tam giác BMH ta có

MA = MB ( M là trung điểm AB)

góc FAM = góc MBH  (2 góc so le trong và AE //BC)

góc AMF = góc BMH ( 2 góc đối đỉnh )

=> tam giac AMF = tam giac BMH ( g-c-g)

=> MF = MH

Xét tứ giác AHBF ta có

M là trung điểm AB (gt)

M là trung điểm FH ( MF=MH)

=> tứ giác AHBF là hình bình hành

mà góc AHB =90 ( AH là dunog cao tam giác ABC)

nên hbh AHBF là hình chữ nhật

c) Xét tam giác ABC ta có

P là trung điểm BC (gt)

N là trung điểm AC (gt)

=> NP là đường trung bình tam giac ABC

=> NP // AB ; NP =1/2 AB

=> PE //AB ( N thuộc PE)

Gọi I là giao điểm AP và BE

Xét tứ giác ABPE ta có

AE//BC ( AE//PC : P thuộc BC)

PE//AB (cmt)

-> tứ giác ABPE là hình bình hành 

mà I là giao điểm AP và BE ( cách gọi)

nên I là trung điểm AP vả BE (1)

Xét tứ giác AMPN ta có

AM //NP ( AB//NP ;M thuộc AB)

AM=NP (=1/2AB)

=> tứ giác AMPN là hình bình hành 

=> hai đường chéo Ap và MN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

mà I là trung điểm AP (cmt)

nên I cũng là trung điểm MN ( 2)

Từ (1) (2) suy ra AP.MN. BE đồng qui tại I

d) Giả sử ECHF là hình bình hành ==> EC = HF ( cặp cạnh đối bằng nhau)

mà FH = AB ( tứ giác AHBF là hc nhật)

và AB = EP ( tứ giác ABPE là hbh )

nên EC=EP

ta có; EC =EP (cmt)

          EC = CP ( tứ giác AECP là hthoi)

=> EC=EP=CP

=> tam giác EPC là tam giác đều

=> góc ECP =60

-> góc ACB =30 ( t/c hình thoi AECP nên CA là tia phan giác góc ECP)V

Vậy  tam giác ABC vuông tại A có góc C=30 thì ECHF là hbh

Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca) 

<=> a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca

<=> a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0

<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0

<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\) (đpcm) 

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)