Cho x,y,z > 0 thỏa mãn
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}\)
Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
VD
0
W
0
PP
0
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 1 2021
b) Chắc đề bài bạn gõ sai, phải là \(AM.BN=\frac{AB^2}{4}\).
Gọi giao giữa tiếp tuyến \(MN\)và \(\left(O\right)\)là \(H\).
Tam giác \(MON\)vuông tại \(O\), đường cao \(OH\)nên có:
\(MH.NH=OH^2\)
mà \(MA=MH,NB=NH\)(tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau) , \(AB=2R\)suy ra
\(AM.BN=MH.NH=OH^2=R^2=\frac{AB^2}{4}\)
Đk: 0 < x;y;z < = 1
Ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}\)
<=> \(2x\sqrt{1-y^2}+2y\sqrt{1-z^2}+2z\sqrt{1-x^2}=3\)
<=> \(3-2x\sqrt{1-y^2}-2y\sqrt{1-z^2}-2z\sqrt{1-x^2}=0\)
<=> \(1-y^2-2x\sqrt{1-y^2}+x^2+1-z^2-2y\sqrt{1-z^2}+y^2+1-x^2-2z\sqrt{1-x^2}+z^2=0\)
<=> \(\left(\sqrt{1-y^2}-x\right)^2+\left(\sqrt{1-z^2}-y\right)^2+\left(\sqrt{1-x^2}-z\right)^2=0\)
<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1-y^2}-x=0\\\sqrt{1-z^2}-y=0\\\sqrt{1-x^2}-z=0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1-y^2}=x\\\sqrt{1-z^2}=y\\\sqrt{1-x^2}=z\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}1-y^2=x^2\left(1\right)\\1-z^2=y^2\left(2\right)\\1-x^2=z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế:
\(3-\left(x^2+y^2+z^2\right)=x^2+y^2+z^2\) <=> \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\) <=> \(x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)