Ta có: A(0;-4) và C(0;4) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)

⇒ OA = OC

B(3;0) và D(-3; 0) là hai điểm đối xứng qua O(0;0)

⇒ OB = OD

Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Lại có: Ox ⊥ Oy hay AC ⊥ BD.

Vậy tứ giác ABCD là hình thoi

Trong Δ∆OAB vuông tại O, theo định lý Pi-ta-go ta có:

AB²=OA²+OB²

AB²=4²+3² = 16 + 9 = 25

AB = √25

Vậy chu vi của hình thoi bằng 4√25

A B C D E  

Vì \(\widehat{BAC}=60^o\) nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\) (sẽ giải thích ở phần sau)

Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

Nên \(\triangle ACE \backsim \triangle ABD (g.g) \text{theo tỉ số đồng dạng } k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\)

\(=> \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = k^2=(\dfrac12)^2=\dfrac14\)

Vậy \( \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \dfrac14\)

Bình luận: Vì sao \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\)?

Chứng minh điều này như sau:

Kẻ đường trung tuyến DM của tam giác ABD.

Từ đây suy ra \(MD=\dfrac12 AB\) (định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Mà \(AM=\dfrac12 AB\) (do DM là trung tuyến)

Nên \(AM=MD\)

Do đó tam giác AMD cân tại M

Mà \(\widehat{MAD}=60^o\) (do \(\widehat{BAC}=60^o\))

Nên tam giác AMD đều

\(=>AM=AD\)

\(=>\dfrac{1}{2}AB=AD\) (DM trung tuyến)

\(=>\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}=>đpcm\)

Vì \(\widehat{BAC}=60^o\) nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\) (sẽ giải thích ở phần sau)

Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

Nên \(\triangle ACE \backsim \triangle ABD (g.g)\)

Từ đó tự suy ra \(\triangle ADE \backsim \triangle ABC (c.g.c) \text{ theo tỉ số đồng dạng }k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\) 

\(=> \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = k^2=(\dfrac12)^2=\dfrac14\)

Vậy \( \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \dfrac14\)

Bình luận: Vì sao \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\)?

Chứng minh điều này như sau:

Kẻ đường trung tuyến DM của tam giác ABD.

Từ đây suy ra \(MD=\dfrac12 AB\) (định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Mà \(AM=\dfrac12 AB\) (do DM là trung tuyến)

Nên \(AM=MD\)

Do đó tam giác AMD cân tại M

Mà \(\widehat{MAD}=60^o\) (do \(\widehat{BAC}=60^o\))

Nên tam giác AMD đều

\(=>AM=AD\)

\(=>\dfrac{1}{2}AB=AD\) (DM trung tuyến)

\(=>\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}=>đpcm\)

a, \(A=-2x^2-3x+5=-2\left(x^2+\frac{3}{2}x\right)+5\)

\(=-2\left(x^2+2.\frac{3}{4}x+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}\right)+5\)

\(=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{9}{8}+5=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{49}{8}\le\frac{49}{8}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = -3/4 

Vậy GTLN A bằng 49/8 khi x = -3/4 

b, \(B=\left(2-x\right)\left(x+4\right)=2x+8-x^2-4x=-x^2-2x+8\)

\(=-\left(x^2+2x+1-1\right)+8=-\left(x+1\right)^2+9\le9\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = -1

Vậy GTLN B bằng 9 tại x = -1

c, \(C=-8x^2+4xy-y^2+3=-4x^2+4xy-y^2-4x^2+3\)

\(=-\left(2x-y\right)^2-4x^2+3\le3\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 0 

Vậy GTLN C bằng 3 tại x = y = 0 

\(a,A=-2\left(x^2+\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}\right)=-2\left(x^2+2.\frac{3}{4}x+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}-5\right)=-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{89}{8}\)

\(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2\ge0\forall x\in R\Rightarrow-2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2\le0\forall x\in R\Leftrightarrow A\le\frac{89}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=-\frac{3}{4}\)

Vậy GTLN của A là \(\frac{89}{8}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{4}\)

\(b,B=\left(2-x\right)\left(x+4\right)=2x+8-x^2-4x=-\left(x^2+2x-8\right)=-\left(x^2+2x+1-9\right)\)

\(B=-\left(x+1\right)^2+9\)

Có \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\Rightarrow-\left(x+1\right)^2\le0\forall x\in R\Leftrightarrow B\le9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy GTLN của B là \(9\Leftrightarrow x=-1\)

\(c,C=-4x^2+4xy-y^2-4x^2+3=-\left(2x-y\right)^2-4x^2+3\)

Có \(x^2\ge0,\left(2x-y\right)^2\ge0\forall x,y\in R\)

\(\Rightarrow-4x^2-\left(2x-y\right)^2\le0\forall x,y\in R\Leftrightarrow C\le3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y=0\Leftrightarrow x=y=0\)

Vậy GTLN của C là \(3\Leftrightarrow x=y=0\)

\(c)\)

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3+c^3-3abc-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ab-ac+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(d)\)

\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=[\left(a+b\right)c]^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=3\left(a+b\right)[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)]\)

\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)