Gọi chiều rộng là : \(x\left(y>x>0;x\in N\right)\)

Gọi chiều dài là : \(y\left(y>0;y\in N\right)\)

Vì khu vườn có chu vi là 104 m nên:

          \(2\left(x+y\right)=104\)

     \(\Leftrightarrow x+y=52\)(1)

Vì nếu tăng chiều rộng lên 3 lần, tăng chiều dài lên 2 lần thì chu vi mới là 252 m nên:

    \(2\left(3x+2y\right)=252\)

 \(\Leftrightarrow3x+2y=126\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

   \(\hept{\begin{cases}x+y=52\\3x+2y=126\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=52-y\\3\left(52-y\right)+2y=126\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=52-y\\y=30\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=22\\y=30\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy chiều rộng là 22 m; chiều dài là 30 m

P/S: phần giải hệ làm hơi tắt ^^

Theo bà ra ta có : 

\(f\left(2\sqrt{3}\right)=\left(m+1\right)x-2=\left(m+1\right)\left(2\sqrt{3}\right)-2\)

\(=\sqrt{12}\left(m+1\right)-2\)

\(f\left(3\sqrt{2}\right)=\left(m+1\right)x-2=\left(m+1\right)3\sqrt{2}-2\)

\(=\sqrt{18}\left(m+1\right)-2\)

vì 12 < 18 => \(\sqrt{12}< \sqrt{18}\)

hay \(f\left(2\sqrt{3}\right)< f\left(3\sqrt{2}\right)\)

Ta có: \(\left(a^4-a^3+2\right)-\left(a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Rightarrow a^4-a^3+2\ge a+1\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)

Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\); \(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)(abc = 1)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1