Gọi vận tốc của Hà là v₁ (km/h) ; thời gian đi của An là t₂ (h) ; thời gian đi của Hà là t₁ (h) (v₁ ; t₁ ; t₂ > 0)

Vận tốc của An là v₁ + 3

Đổi 12 phút = 0,2 giờ

Ta có  t₁ - t₂ = 0,2

<=> \(\frac{S}{v_1}-\frac{S}{v_1+3}=0,2\)

<=>  \(\frac{12}{v_1}-\frac{12}{v_1+3}=0,2\)

<=> \(12\left(\frac{1}{v_1}-\frac{1}{v_1+3}\right)0,2\)

<=> \(\frac{3}{v_1\left(v_1+3\right)}=\frac{1}{60}\)

<=> v₁(v₁ + 3) = 180

<=> (v₁)² + 3.v₁ - 180 = 0

<=> (v₁)² - 12.v₁ + 15v₁ - 180 = 0

<=> v₁(v₁ - 12) + 15(v₁ - 12) = 0

<=> (v₁ + 15)(v₁ - 12) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}v_1=-15\left(\text{loại}\right)\\v_1=12\left(tm\right)\end{cases}}\)

<=> v₁ = 12 <=> v₁ + 3 = 15

Vậy vận tốc của An là 15km/h ; vận tốc của Hà là 12 km/h

Đề phải như thế này nhé:

CM: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{4}\)

Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\frac{x}{\sqrt{2}},\frac{y}{\sqrt{2}},\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\)

Khi đó: \(\left(\frac{x^2}{2}+1\right)\left(\frac{y^2}{2}+1\right)\left(\frac{z^2}{2}+1\right)\ge\frac{3\left(\frac{x+y+z}{\sqrt{2}}\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge3\left(x+y+z\right)^2\) là BĐT cần chứng minh

Ta có: \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)=x^2y^2+2x^2+2y^2+4\)

\(=\left(x^2y^2+1\right)+\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+y^2\right)+3\)

\(\ge2xy+x^2+y^2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+3\)

\(=\left(x+y\right)^2+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+3=\frac{3}{2}\left[\left(x+y\right)^2+2\right]\)

Lúc đó: \(\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(z^2+2\right)\ge\frac{3}{2}\left[\left(x+y\right)^2+2\right]\left(z^2+2\right)\)

\(=\frac{3}{2}\left[\left(x+y\right)^2z^2+2\left(x+y\right)^2+2z^2+4\right]\)

\(=\frac{3}{2}\left\{\left[\left(x+y\right)^2z^2+4\right]+2\left(x+y\right)^2+2z^2\right\}\)

\(\ge\frac{3}{2}\left[4\left(x+y\right)z+2\left(x+y\right)^2+2z^2\right]=3\left(2zx+2yz+x^2+2xy+y^2+z^2\right)\)

\(=3\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{3\left(a+b+c\right)^2}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Đặt \(p^2+pq+q^2=a^2\) \(\left(a\inℤ\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q\right)^2-pq=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q\right)^2-a^2=pq\)

\(\Leftrightarrow\left(p+q-a\right)\left(p+q+a\right)=pq\)

Xong chắc xét các TH với p,q là số nguyên tố

Link ảnh: file:///C:/Users/THAOCAT/Pictures/Screenshots/Screenshot%20(1222).png

a) Gọi U là giao điểm của AD và BM

Dễ có: \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\)(các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta ACU\)vuông tại C

và \(\Delta ABU\)cân tại B (có BD vừa là đường cao vừa là phân giác) => D là trung điểm của AU

\(\Delta ACU\)vuông tại C có CD là trung tuyến (cmt) nên CD = AD => \(\widehat{CAD}=\widehat{ABD}\)(góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

b) \(\Delta ABU\)có ID là đường trung bình nên ID // BU hay IK // BM

\(\Delta ABM\)có I là trung điểm của AB, IK // BM nên K là trung điểm của AM

\(\Delta ACM\)vuông tại C có CK là trung tuyến nên \(CK=\frac{1}{2}AM\)(đpcm)

c) Ta có: \(AC+BC\le\sqrt{2\left(AC^2+BC^2\right)}=\sqrt{2AB^2}=2\sqrt{2}R\)

\(\Rightarrow AB+AC+BC\le\left(2\sqrt{2}+2\right)R\)

Vậy chu vi tam giác ABC lớn nhất bằng \(\left(2\sqrt{2}+2\right)R\)đạt được khi AC = BC hay AB = AM = 2R

1. Áp dụng Min - cốp - ski, ta được: \(\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(b+c\right)^2}+a^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(c+a\right)^2}+b^2}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)(Bunyakovsky dạng phân thức)

Đặt \(t=a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)thì ta cần chứng minh: \(\sqrt{\frac{729}{4t^2}+t^2}\ge\frac{3\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow\frac{729}{4t^2}+t^2\ge\frac{117}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t+3\right)\left(t-3\right)\left(2t+9\right)\left(2t-9\right)}{4t^2}\ge0\)*đúng bởi \(t-3\le0;t+3>0;2t+9>0;2t-9< 0;4t^2>0\)*

Đẳng thức xảy ra khi t = 3 hay a = b = c = 1

2. Ta có: \(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)}{x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}\ge0\)\(\Rightarrow\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y