ta có

\(\hept{\begin{cases}xy\left(x-y\right)^2=25\\\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

từ \(\left(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}\right)^2=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x^2-y^2+2\sqrt{xy.\left(x-y\right)^2}=\frac{81}{4}\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2+2\sqrt{25}=\frac{81}{4}\Leftrightarrow x^2-y^2=\frac{41}{4}\Rightarrow x^2=y^2+\frac{41}{4}\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}\right)=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{41}{4}-\left(xy-y^2\right)}+\sqrt{xy-y^2}=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow xy-y^2=4\)vậy ta có \(\hept{\begin{cases}xy-y^2=4\\x^2-y^2=\frac{41}{4}\end{cases}}\Rightarrow16\left(x^2-y^2\right)=41\left(xy-y^2\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=\frac{25}{16}y\end{cases}}\)mà \(x^2=y^2+\frac{41}{4}\Rightarrow\left(\frac{25}{16}y\right)^2=y^2+\frac{41}{4}\Rightarrow y=\pm\frac{8}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{25}{6}\)

thay lại hệ để tìm nghiệm thỏa mãn đk căn thức là xong nhé

\(ĐK:x^2-xy\ge0;xy-y^2\ge0\)

Ta viết hệ phương trình về dạng: \(\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right).y\left(x-y\right)=25\\\sqrt{x\left(x-y\right)}+\sqrt{y\left(x-y\right)}=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

Đặt \(\sqrt{x\left(x-y\right)}=u,\sqrt{y\left(x-y\right)}=v\left(u,v>0\right)\)thì hệ trở thành: \(\hept{\begin{cases}u^2v^2=25\\u+v=\frac{9}{2}\end{cases}}\)

* Xét uv = 5 thì u, v là nghiệm của phương trình \(s^2-\frac{9}{2}s+5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}s=\frac{5}{2}\\s=2\end{cases}}\)

     +) \(u=\frac{5}{2},v=2\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right)=\frac{25}{4}\\y\left(x-y\right)=4\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=\frac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=\frac{3}{2}\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(\frac{25}{6},\frac{8}{3}\right)\\x-y=-\frac{3}{2}\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(-\frac{25}{6},-\frac{8}{3}\right)\end{cases}}\)

     +) \(u=2,v=\frac{5}{2}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-y\right)=4\\y\left(x-y\right)=\frac{25}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=\frac{-9}{4}\left(L\right)\)

* Xét uv = -5 thì u, v là nghiệm của phương trình \(r^2-\frac{9}{2}r-5=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}r=\frac{9+\sqrt{161}}{4}\\r=\frac{9-\sqrt{161}}{4}\end{cases}}\)(loại vì có 1 nghiệm là số âm)

ta có 

\(\hept{\begin{cases}x^2-y^2=z-y\\y^2-z^2=x-z\\z^2-x^2=y-x\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=xy^2+yz^2+zx^2\Leftrightarrow x\left(x^2-y^2\right)+y\left(y^2-z^2\right)+z\left(z^2-x^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(z-y\right)+y\left(x-z\right)+z\left(y-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow xz=xy+xy-yz+yz-xz=0\text{ luôn đúng}\)

vậy ta có đpcm

Ta có: \(x^3+y^3+z^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}+\frac{z^4}{z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right)^2}{x+y+z}\)\(=\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)(Bunhiacopski)

\(\Rightarrow\left(x^3+y^3+z^3\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^6}{81}\ge\frac{\left[3\left(xy+yz+zx\right)\right]^3}{81}=9\)

Áp dụng bất đẳng thức Min - cốp - xki, ta được: \(P=\sqrt{x^6+y^6+1}+\sqrt{y^6+z^6+1}+\sqrt{z^6+x^6+1}\)\(\ge\sqrt{\left(x^3+y^3+z^3\right)^2+\left(x^3+y^3+z^3\right)^2+\left(1+1+1\right)^2}\ge3\sqrt{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Với ĐK : xy + yz + xz = 3 và Min P = \(\sqrt{x^6+y^6+1}+\sqrt{x^6+z^6+1}+\sqrt{z^6+y^6+1}\) , ta có ĐK :

xy + yz = 3 - xz => xy ; yz ; xz < 3 ; xy = yz = xz = 2 => 2 + 2 + 2 = 3 ( \(\varnothing\)) .

Suy ra : xy = yz = xz = 1 => x = y = z = 1 vì xy + yz + xz = 1 + 1 + 1 = 3.

Từ đó , có tiếp : \(\sqrt{x^6+y^6+1}+\sqrt{x^6+z^6+1}+\sqrt{z^6+y^6+1}\)

\(=\sqrt{1^6+1^6+1}+\sqrt{1^6+1^6+1}\sqrt{1^6+1^6+1}\)

\(=\sqrt{1+1+1}+\sqrt{1+1+1}+\sqrt{1+1+1}\)

\(=3\sqrt{3}\)

=> \(minP=3\sqrt{3}\)

có ở trong câu hỏi tương tự nhé

\(S=13\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}\right)+13\left(\frac{b}{24}+\frac{c}{48}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{2}{ab}\right)+\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}+\frac{2}{ac}\right)+\left(\frac{b}{8}+\frac{c}{16}+\frac{2}{bc}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{c}{12}+\frac{8}{abc}\right)\)Cô si các ngoặc là được nhé 

Áp dụng bđt: \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (*)

CM bđt trên đúng: Từ (*) <=> \(\frac{4}{x+y}\le\frac{x+y}{xy}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) <=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

Khi đó, ta có: \(\frac{a}{2a+b+c}=\frac{a}{a+b+a+c}\le\frac{a}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\) (1)

CMTT: \(\frac{b}{a+2b+c}\le\frac{b}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)(2)

\(\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{c}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế:

\(\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{a+2b+c}+\frac{c}{a+b+2c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\)

\(=\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

\(\ge\left(a+c\right)\cdot\frac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right)\cdot\frac{4}{a+b+c+d}\)

\(=\left(a+b+c+d\right)\cdot\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = d 

\(3a-4b=7\Leftrightarrow b=\frac{3a-7}{4}\)

\(3a^2+4b^2=3a^2+4.\left(\frac{3a-7}{4}\right)^2=3a^2+\frac{1}{4}\left(9a^2-42a+49\right)\)

\(=\frac{21}{4}a^2-\frac{21}{2}a+\frac{49}{4}=\frac{21}{4}\left(a^2-2a+1\right)+\frac{28}{4}\)

\(=\frac{21}{4}\left(a-1\right)^2+7\ge7\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=1\Rightarrow b=-1\),

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky cho 4 số \(\sqrt{3};\sqrt{3}a;\sqrt{4};\sqrt{4}b\)

\(\left|3a+4b\right|=\left|\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}a+\sqrt{4}\cdot\sqrt{4}b\right|\le\sqrt{\left(3+4\right)\left(3a^2+4b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow3a^2+4b^2\ge7\)