(uii hê lô anh Đạt nha :33 lâu mới thấy anh comeback)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{x+y+z+3}\)(1)

Từ \(x+y+z\le3\)=> \(x+y+z+3\le6\)

=> \(\frac{1}{x+y+z+3}\ge\frac{1}{6}\)

=> \(\frac{9}{x+y+z+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\ge\frac{3}{2}\)

=> \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{2}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1

Đặt \(\hept{\begin{cases}1+x=a\\1+y=b\\1+z=c\end{cases}}\)ta có a+b+c=3+x+y+z mà x+y+z =<3

=> a+b+c\(\le6\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{6}\)ta sẽ chứng minh bài toán sau: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(1\right)\)

Xét vế trái của BĐT (1) \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)

\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

Với x,y,z là những số dương thì \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2;\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge2;\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2\)nên \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{3}{2}\). dấu "='" xảy ra <=> x=y=z=1