Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

• Do EF là đường phân giác của tam giác ABC, nên theo định lí phân giác, ta có: ∠EBF = ∠ECF.
• Tương tự, do EF là đường phân giác, nên ∠EAF = ∠EAC + ∠CAF = ∠EBC + ∠CBF = ∠EBF + ∠CBF = ∠ECF + ∠CBF = ∠ECB.
• Vì ∠EBF = ∠ECB, nên tam giác EBF đồng dạng với tam giác ECB (theo góc - góc).
• Tương tự, ta cũng có tam giác ECF đồng dạng với tam giác BCF.

Từ đó, ta có tỷ số đồng dạng:
EB/EC = BF/BC
EC/EB = CF/BC

Kết hợp hai tỷ số trên, ta có:
(BF/BC) * (EC/EB) = 1

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác EFN và đường NP, ta có:
(AF/FN) * (NP/PE) * (EQ/QF) = 1

Vì N là trung điểm của AC, nên AF = FN. Khi đó, ta có:
(NP/PE) * (EQ/QF) = 1

Từ đó, ta suy ra:
NP/PE = QF/EQ

Do đó, tam giác NPE đồng dạng với tam giác QFE (theo tỷ số cạnh bên).

Vì tam giác NPE đồng dạng với tam giác QFE, nên ∠NEP = ∠QEF.

Ta có:
∠NEP + ∠PEO + ∠QEF + ∠FEO = 180° (tổng các góc trong tam giác)
∠NEP + ∠PEO + ∠NEP + ∠FEO = 180° (vì ∠NEP = ∠QEF)
2∠NEP + ∠PEO + ∠FEO = 180°

Vì ∠PEO + ∠FEO = ∠POE = 90° (do OI là đường tiếp tuyến của (O)), nên ta có:
2∠NEP + 90° = 180°
2∠NEP = 90°
∠NEP = 45°

Vậy, ta có ∠NEP = 45°. Từ đó, suy ra ∠NEP = ∠QEA = 45°.

Vì ∠QEA = 45°, nên AQ ⊥ OI.

Vậy, ta đã chứng minh được AQ ⊥ OI.