\(a)\)

\(4x^2-y^2+2x+y\)

\(=\left(4x^2-y^2\right)+\left(2x+y\right)\)

\(=\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)+\left(2x+y\right)\)

\(=\left(2x+y\right)\left(2x-y+1\right)\)

\(b)\)

\(x^3+2x^2-6x-27\)

\(=x^3+5x^2+9x-3x^2-15x-27\)

\(=x\left(x^2+5x+9\right)-3\left(x^2+5x-9\right)\)

\(=\left(x-3\right)\left(x^2+5-9\right)\)

\(c)\)

\(12x^3+4x^2-27x-9\)

\(=\left(12x^3+4x^2\right)-\left(27x+9\right)\)

\(=4x^2\left(3x+1\right)-9\left(3x+1\right)\)

\(=\left(3x+1\right)\left(4x^2-9\right)\)

\(=\left(3x+1\right)[\left(2x\right)^2-3^2]\)

\(=\left(3x+1\right)\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\)

\(d)\)

\(16x^2+4x-y^2+y^2\)

\(=16x^2+4x\)

\(4x\left(4x+1\right)\)

1. ( x² - x + 2 )⁴ - 3x² ( x² - x + 2 )² + 2x⁴

Đặt t = x² - x + 2 , ta có :

t⁴ - 3x²t² + 2x⁴

= t⁴ - 2x²t² - x²t² + 2x⁴

= t² ( t² - 2x² ) - x² ( t² - 2x² )

= ( t² - x² ) ( t² - 2x² )

= ( t - x ) ( t + x ) ( t² - 2x² )

= ( x² - x + 2 - x ) ( x² - x + 2 + x ) [ ( x² - x + 2 )² - 2x² ]

= ( x² - 2x + 2 ) ( x² + 2x ) ( x² - 3x + 2  ) ( x² + x + 2 )

2. 3 ( - x² + 2x + 3 )⁴ - 26x² ( - x² + 2x + 3 )² - 9x⁴

Đặt y = - x² + 2x + 3 , ta có :

3y⁴ - 26x²y² - 9x⁴

= x²y² + 3y⁴ - 9x⁴ - 27x²y²

= y² ( x² + 3y² ) - 9x² ( x² + 3y² )

= ( y² - 9x² ) ( x² + 3y² )

= ( y - 3x ) ( y + 3x ) ( x² + 3y² )

= ( - x² + 2x + 3 - 3x ) ( - x² + 2x + 3 + 3x ) [ x² + 3 ( - x² + 2x + 3 )² ]

= ( - x² - x + 3 ) ( - x² + 5x + 3 ) ( 3x⁴ - 12x³ - 5x² + 36x + 27 )

Vì ABCD là hình bình hành => AB//CD mà AM thuộc AB; CN thuộc CD => AM//CN

Mà AM=CN

=> AMCN là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hình bình hành)

=> AC và MN là đường chéo của hbh AMCN

Gọi O là giao của AC và MN => O là trung điểm của AC và MN (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

A cố định C cố định => O cố định => MN luôn đi qua O cố định

Hình tự vẽ nhé

Theo đề ra: K là điểm đối xứng của C qua AD <=> DC = DK

Xét hai tam giác vuông IDK và IDC:

+) DC = DK (cmt)

+) ID: chung

=> Tam giác IDK = IDC (Hai cạnh góc vuông)

=> Góc KID = CID

Ta có: AIB = KID (Đối đỉnh)

=> Góc  AIB = góc CID

x² - 2xy - 8y² = ( x² - 2xy + y² ) - 9y² = ( x - y )² - ( 3y )² ( x - y - 3y ) ( x - y + 3y )

vội quá thiếu dấu "=" bạn thêm vào nhé :)

M A B C E F

a) Xét tam giác ABC có \(EM//AC\left(gt\right)\), mà M là trung điểm của BC(gt) => E là trung điểm của AB

CMTT => F là trung điểm của AC

b) Xét tam giác ABC có 

• E là trung điểm của AB( gt)
• F là trung điểm của AC(gt)

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC 

=> BC = 2EF( tính chất đường trung bình của tam giác)

c) Ta có: EF//BC( do EF là đường trung bình của tam giác ABC)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{EAF}=\widehat{ABC}\\\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\end{cases}}\)(Các cặp góc đồng vị)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{AFE}\Rightarrow\Delta AEF\)cân tại A

\(\Rightarrow AE=AF\)

Xét tứ giác AEMF có

\(\hept{\frac{AE//MF\left(gt\right)}{AF//EM\left(gt\right)}}\)

=> Tứ giác AEMF là Hình bình hành

\(\Rightarrow AE=ME=MF=AF\)

Ta có : \(27xyz\le\left(x+y+z\right)^3\)

<=> \(\left(x+y+z\right)^3-27xyz\ge0\)

<=> (x + y)³ + 3(x + y)z(x + y + z) + z³ - 27xyz \(\ge0\)

=> x³ + y³ + 3xy(x + y) + 3(x + y)z(x + y + z) + z³ - 27xyz \(\ge\)0 

<=> (x³ + y³ + z³) + 3(x + y)[xy + z(x + y + z)] - 27xyz \(\ge0\)

<=> (x³ + y³ + z³) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz   \(\ge0\)

mà  x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)

Thật vậy x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)

=> (x + y)² \(\ge\)4xy 

<=> x² - 2xy + y²  \(\ge\) 0

<=> (x - y)² \(\ge\)0 (đúng \(\forall x;y>0\))

Tương tự ta được y + z \(\ge2\sqrt{yz}\)

z + x \(\ge2\sqrt{xz}\)

Khi đó 3(x + y)(y + z)(z + x) \(\ge3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=24xyz\)(dấu "=" xảy ra khi x = y = z)

=> (x³ + y³ + z³) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz   \(\ge0\)

<=> (x³ + y³ + z³) + 24xyz - 27xyz \(\ge0\)

<=> x³ + y³ + z³ - 3xyz   \(\ge0\)

<=> (x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²] \(\ge\)0 (đúng)

=> ĐPCM