Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Từ E vẽ EK vuông góc với đường thẳng AB tại K, qua A vẽ tiếp tuyến xỵ với đường tròn (O). Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng xy tại Q.

a) Chứng minh tứ giác AQKE nội tiếp và KQE = BCE.

b) Tia KD cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác DECN nội tiếp và EN QK=ND EQ.

c) Đường thẳng QE cắt BC và AB lần lượt tại I và F. Chứng minh SEND SEQK ΕΙ EF

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PO PR tới đường tròn với Q và R là các tiếp điểm. Đường thẳng qua P cắt đường tròn (O) tại hai điểm. X7 và N (M nằm giữa P và N và dây MN cắt đoạn OR, dãy MN không qua tâm O). Gọi I là trung điểm của MN.

1) Chứng minh rằng tứ giác POOR nội tiếp đường tròn.

2) Gọi T là giao điểm của PO và QI . Biết I0= IR, chứng minh rằng OI song song với RT

Cho đường tròn (O;R) . Qua điểm A bên ngoài đường tròn ta vẽ các tiếp tuyến AB và AC với vòng tròn ( B và C là các tiếp điểm ) .Vẽ cát tuyến AEF ( E và B cùng thuộc một nữa mặt phẳng bờ OA , E nằm giữa A và F ) .Gọi D là trung điểm của E F . Gọi H là giao điểm của OA và BC .

1/. Chứng minh tứ giác ODBC nội tiếp.

2/.  Vẽ đường kính BK của (O) . Gọi M là hình chiếu của C lên BK . AK cắt CM tại I. Chứng minh I là trung điểm của CM.

3/.  Tia CM cắt  (O) tại điểm thứ hai là N ,AN cắt (O) tại điểm thứ hai là J .CJ cắt AB tại Z .Chứng minh ZH vuông góc với OC .