Xét 2024 số: \(3^1-1,3^2-1,...,3^{2024}-1\). Một số khi chia cho 2023 có 2023 số dư là 0, 1, 2,..., 2022. Do đó, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại 2 số \(3^i-1\) và \(3^j-1\) có cùng số dư khi chia cho 2023. 

 Không mất tính tổng quát, giả sử rằng \(1\le i< j\le2024\). Khi đó \(\left(3^j-1\right)-\left(3^i-1\right)⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^j-3^i⋮2023\)

 \(\Leftrightarrow3^i\left(3^{j-i}-1\right)⋮2023\)

Vì \(ƯCLN\left(3^i,2023\right)=1\) nên từ đây suy ra \(3^{j-i}-1⋮2023\)

Vậy, tồn tại số nguyên dương \(j-i\) mà \(3^{j-i}-1⋮2023\), ta có đpcm.

Gọi phần trăm dân số tăng lên trung bình mỗi năm là x(%)

(Điều kiện: 0<x=100)

Số dân sau 1 năm là \(2000000\left(1+0,01x\right)\left(người\right)\)

Số dân sau 2 năm là \(2000000\left(1+0,01x\right)\left(1+0,01x\right)=2\cdot10^6\cdot\left(1+0,01x\right)^2\)

Theo đề, ta có phương trình:

\(2000000\left(1+0,01x\right)^2=2020050\)

=>\(\left(1+0,01x\right)^2=1,010025\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}0,01x+1=1,005\\0,01x+1=-1,005\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}0,01x=0,005\\0,01x=-2,005\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

=>0,01x=0,005

=>x=0,005:0,01=0,5(nhận)

Vậy: phần trăm dân số tăng lên trung bình mỗi năm là 0,5%

Gọi tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố là x% (x>0)

Dân số thành số sau 1 năm: \(2000000+2000000.\dfrac{x}{100}=2000000.\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\) (người)

Dân số thành phố sau 2 năm:

\(2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)+2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right).\dfrac{x}{100}=2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2\) (người)

Do sau 2 năm dân số thành phố là 2020050 người nên ta có:

\(2000000\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=2020050\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{x}{100}\right)^2=1,010025\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}1+\dfrac{x}{100}=1,005\\1+\dfrac{x}{100}=-1,005\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0,5\\x=-200,5< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy trung bình mỗi năm dân số tp đó tăng 0,5%

Thay x=-5 vào phương trình, ta được:

\(\left(-5\right)^2-2\left(m-1\right)\cdot\left(-5\right)-3m-1=0\)

=>\(25+10\left(m-1\right)-3m-1=0\)

=>10m-20-3m+24=0

=>7m+4=0

=>7m=-4

=>\(m=-\dfrac{4}{7}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2\left(-\dfrac{4}{7}-1\right)=2\cdot\dfrac{-11}{7}=-\dfrac{22}{7}\)

=>\(x_2-5=-\dfrac{22}{7}\)

=>\(x_2=-\dfrac{22}{7}+5=\dfrac{13}{7}\)

a: Xét tứ giác OBMC có \(\widehat{OBM}+\widehat{OCM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBMC là tứ giác nội tiếp

Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rông của thửa ruộng
(x, y ϵ N)
Theo đề bài:
\(2\left(x+y\right)=180\Rightarrow x+y=90\)
\(2\left(\dfrac{x}{2}+2y\right)=180\Rightarrow x+4y=180\)
\(\Rightarrow3y=90\Rightarrow y=30\)
\(\Rightarrow x=60\)
Diện tích của thửa ruộng là:
\(30.60=1800\left(m^2\right)\)

 

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=mx+m+1\)

=>\(x^2-mx-m-1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m-1\right)=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>m+2<>0

=>m<>-2

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2\left(x_2+1\right)+x_2^2\left(x_1+1\right)=5\)

=>\(x_1^2\cdot x_2+x_2^2\cdot x_1+\left(x_1^2+x_2^2\right)=5\)

=>\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5\)

=>\(m\left(-m-1\right)+m^2-2\left(-m-1\right)=5\)

=>\(-m^2-m+m^2+2m+2=5\)

=>m+2=5

=>m=3(nhận)

gửi kb rồi đó

?????????????????????

Học sinh giỏi của olm mà vẫn nhắn linh tinh

\(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4\cdot1\cdot m=4m^2+4m+1-4m=4m^2+1>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\left(2m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2-x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)

\(=\left(2m+1\right)^2-3m=4m^2+4m+1-3m\)

\(=4m^2+m+1\)

\(=\left(2m\right)^2+2\cdot2m\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{15}{16}\)

\(=\left(2m+\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{15}{16}>=\dfrac{15}{16}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(2m+\dfrac{1}{4}=0\)

=>\(m=-\dfrac{1}{8}\)