a, \(\sqrt{\frac{289}{25}}=\frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}}=\frac{17}{5}\)

b, \(\sqrt{2\frac{14}{25}}=\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}\)

c, \(\sqrt{\frac{0,25}{9}}=\frac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)

d, \(\sqrt{\frac{8,1}{16}}\)đề có sai ko cô ? 

a) căn 289 / 225 = 17/15

b) căn 64/ 25 = 8/5

c) căn 0,25 / 9 = 1/6

d) căn 8,1 / 1,6 = 9/4

Đặt \(A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\left(a,b,c>0\right)\).

Ta có:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\).

Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+b^2\ge2ab\).

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2ab}\).

\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\).

\(\Rightarrow\frac{-ab^2}{a^2+b^2}\ge\frac{-b}{2}\).

\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\).

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\left(1\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\).với \(b,c>0\)\(\left(2\right)\)

Dấu bẳng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)với \(a,c>0\)\(\left(3\right)\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\)\(\ge\)\(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}\).

\(\Leftrightarrow A\ge\frac{6}{2}\)(vì \(a+b+c=6\)).

\(\Leftrightarrow A\ge3\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\).

Vậy nếu \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\)thì:

\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\).

Đặt nửa đường thẳng thuộc tiếp tuyến tại A về phía C là At

sđ\(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (Góc nội tiếp đường tròn)

sđ\(\widehat{tAC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow\widehat{tAC}=\widehat{ABC}=60^o\)

Ta có : \(a^2+b^2\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)hay 

\(A\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2}=\frac{1}{2}+\frac{4}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+8=\frac{17}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

ỏ thanks bro:33 dạo bỏ bê toán quá quên hết mấy bđt phụ, giờ toán tui gà wa hmu hmu :"((

giup vs

toán lớp 9 hử bn