Một vùng nọ có 88 thành phố và giữa hai thành phố bất kì được kết nối bởi một tuyến bay trực tiếp (hai chiều). Ủy ban Hàng không dự kiến cấp phép cho 88 hãng hàng không khai thác các tuyến bay đó, một tuyến bay bất kì sẽ được cấp phép cho đúng một trong các hãng đó và mỗi hãng khai thác ít nhất một tuyến bay. Hơn nữa, người ta muốn rằng với 3 hãng hàng không bất kì, luôn tìm được 3 thành phố sao cho 3 tuyến bay trực tiếp kết nối chúng được khai thác bởi 3 hãng đó. Hỏi Ủ ban Hàng không có thể thực hiện điều đó hay không? 

  Cho \(2n\) \(\left(n\inℕ^∗\right)\) khối gỗ được đánh số \(1,1,2,2,3,3,...,n,n\) như sau:

            ...

  Ta cần xếp \(2n\) khối gỗ này vào một dãy gồm \(2n\) ô trống như bên dưới:

 ...

 Biết rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) Mọi ô trống đều có khối gỗ và chỉ 1 khối gỗ duy nhất.

ii) Có \(i\) ô ở giữa 2 ô chứa 2 khối gỗ được đánh số \(i\) \(\left(1\le i\le n\right)\). 

 Ví dụ: Với \(i=2\) thì 2 khối gỗ có thể xếp như sau:

...

a) Hãy chỉ ra 1 cách xếp thỏa mãn các điều kiện trên với \(n=3,n=4\).

b) Hỏi với \(n=2022\) thì có tồn tại cách xếp thỏa mãn đề bài hay không?

 (Câu hỏi này không đâu khác lại chính là từ em mình mà ra. Các bạn giúp mình với.)

 Với \(n>1\) là số nguyên dương cho trước, xét \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\) và \(\left(b_1,b_2,...,b_n\right)\) là hai hoán vị khác nhau của các số trong bộ \(\left(\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{n}\right)\), đồng thời thỏa mãn điều kiện \(a_1+b_1\ge a_2+b_2\ge...\ge a_n+b_n\).

a) Với \(n=2022\), hỏi có hay không hai hoán vị mà \(a_i\ne b_i,\forall i=\overline{1,2022}\) và \(\dfrac{a_1+b_1}{a_{2022}+b_{2022}}\inℤ\)?

b) Chứng minh rằng ta luôn có \(a_k+b_k\le\dfrac{4}{k}\) với mọi \(k=1,2,...,n\)

c) Hỏi số 4 trong đánh giá ở b) có thể thay bởi số \(c< 4\) để các điều kiện vẫn được thỏa mãn hay không?

 Cho tứ giác \(A_1A_2A_3A_4\) không nội tiếp đường tròn. Gọi \(O_1,r_1\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A_2A_3A_4\). Định nghĩa tương ứng cho \(O_2,O_3,O_4\) và \(r_2,r_3,r_4\). Chứng minh rằng

      \(\sum\limits^4_{i=1}\dfrac{1}{O_iA_i^2-r_i^2}=0\)