\(P=x^2+xy+y^2-3\left(x+y\right)+3\)

\(2P=2x^2+2xy+2y^2-6x-6y+6\)

\(2P=x^2-2x+1+y^2-2y+1+x^2+y^2+4-4x-4y+2xy\)

\(2P=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x+y-2\right)^2\ge0\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=1\).

Áp dụng bất đẳng thức,cho 2 số không ân,ta có:

\(x^2+y^2\ge2\)

\(\sqrt{x^2}.\sqrt{y^2}=2.xy=2.6=12\)

Vậy P min=12,dấu "=" xảy ra khi:

\(x^2=y^2\Leftrightarrow x=y\)

Để thu lợi nhuận ít nhất \(5\%\)thì giá bán tối thiểu là: \(100.\left(1+5\%\right)=105\)(nghìn đồng) 

Giá giảm tối đa số tiền là: \(150-105=45\)(nghìn đồng) 

Giảm giá cho sản phẩm tối đa số phần trăm là: \(45\div150\times100\%=30\%\).

Để thu lợi nhuận ít nhất \(5\%\)thì giá bán tối thiểu là: \(100.\left(1+5\%\right)=105\)(nghìn đồng) 

Giá giảm tối đa số tiền là: \(150-105=45\)(nghìn đồng) 

Giảm giá cho sản phẩm tối đa số phần trăm là: \(45\div150\times100\%=30\%\).

Ta có: \(\frac{x}{y+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{x+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+y}>\frac{z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow S>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\left(1\right)\)

+) Lại có: \(\frac{x}{y+z}< \frac{2x}{x+y+z};\frac{y}{x+z}< \frac{2y}{x+y+z};\frac{2z}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow S< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1< S< 2\)

Câu 1 :

Số khẩu trang khối 8, 9 dự định quyên góp theo kh lần lượt là x  , y ( chiếc ) ( x , y \(\in\)N*   ; x , y < 1140 )

Theo đề bài ta có PT : x + y = 1140        (1)

Thực tế, khối 8 quyên góp đc : x + 10%x = 1,1 x ( chiếc)

Thực tế, khối 9 quyên góp đc : y + 20%y = 1,2 y ( chiếc )

Theo đề bài ta có PT : 1,1 x  + 1,2 y = 1314        (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT :

\(\hept{\begin{cases}x+y=1140\\1,1x+1,2y=1314\end{cases}}\)

Giải tiếp hệ là ra nhé

\(x^2+ax+b+1=0\)

\(\Delta=a^2-4b-4\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\Leftrightarrow a^2-4b-4>0\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-a\\x_1.x_2=b+1\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=3\\x_1^3-x_2^3=9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=3\\\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=3\\x_1^2+x_1x_2+x_2^2=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=3\\\left(x_1-x_2\right)^2+3x_1x_2=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=3\\x_1x_2=-2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=3+x_2\\\left(3+x_2\right)x_2=-2\left(1\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x_2^2+3x_2+2=0\)

\(\Delta=1\)

\(\Rightarrow\)pt có 2 nghiệm pb \(\orbr{\begin{cases}x_2=\frac{-3+1}{2}=-1\Rightarrow x_1=2\\x_2=\frac{-3-1}{2}=-2\Rightarrow x_1=1\end{cases}}\)

TH1: \(x_1=2;x_2=-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=-1\\b=-3\end{cases}}\)( LOẠI vì a^2 -4b-4 <0 )

TH2: \(x_1=1;x_2=-2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-3\end{cases}}\)( tm )

VẬY ...

Áp dụng Bđt cauchy-schwarz dạng đa thức cho 3 bộ số ta có;

\(\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)^2\le\)

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{p-a}\right)^2+\left(\sqrt{p-b}\right)^2+ \left(\sqrt{p-c}\right)^2\right]\)

\(=3\left(p-a+p-b+p-c\right)=3\left(3p-a-b-c\right)=3\left(3p-2p\right)=3p\)

\(\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay tam giác đó là tam giác đều