Một đội công nhân A và B làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi làm chung được 8 ngày thì đội A được điều động đi làm việc khác, đội B tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội B tăng gấp đôi, do đó đội B đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Khi làm công việc XYZ người ta nhận thấy rằng:
Nếu nhóm A làm trong 3 giờ và nhóm B làm trong 9 giờ thì số công việc XYZ còn lại là 25% công việc
Nếu nhóm A làm trong 6 giờ và nhóm B làm trong 3 giờ thì số công việc XYZ còn lại lad 1/3 công việc
Tính thời gian mỗi nhóm làm một mình xong công việc XYZ.

Cho đường tròn (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) sao cho SO =3R. | Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA và SB với (O) (A,B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp.

b) Từ B vẽ đường thẳng song song với SA cắt (O) tại điểm C khác B. Đường thẳng SC cắt (O) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng AB.AD= SA.BD

c) Chứng minh tam giác SAD đồng dạng với tam giác SCA từ đó suy ra BD.AC=AD.BC

d) Tính độ dài đoạn thẳng BC theo R.

     Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Từ A kẻ đường thẳng (d) không đi qua tâm O, cắt (O) tại B và C ( B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Từ D kẻ DH vuông góc với AO (H nằm trên AO), DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.

1.     Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp.

2.     Chứng minh OH.OA = OI.OD.

3.     Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

4.     Cho OA = 2R. Tính theo R diện tích của phần tam giác OAM nằm ngoài đường tròn (O).

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$ và dây $CD$ vuông góc với $A B$ tại điểm $F$. Trên cung nhỏ $B C$ lấy điểm $M$ ( $M$ không trùng với $B$ và $C$ ), đường thẳng $A M$ cắt đường thẳng $C D$ tại $E$.
a) Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn và $\widehat{ C M A}=\widehat{ D M A}$.
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng $A C$ và $B M$ là $K$; giao điểm của hai đường thẳng $D M$ và $A B$ là $I$; giao điểm của hai đường thẳng $A M$ và $B C$ là $N$. Chứng minh ba điểm $K, N, I$ thẳng hàng.