\(\left(x^2-y^2\right)^2+4x^2y^2+x^2-2y^2=0\)

\(\Rightarrow x^4+y^4-2x^2y^2+4x^2y^2+x^2-2y^2=0\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+2x^2y^2+x^2-2y^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(x^2+y^2\right)+3x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2=1-3x^2\le1\)

\(\Rightarrow-1\le x^2+y^2-1\le1\)

\(\Rightarrow0\le x^2+y^2\le2\)

\(\Rightarrow A_{min}=0\) khi \(x=y=0\)

\(A_{max}=2\) khi \(x=0;y=\pm\sqrt{2}\)

\(P=\dfrac{x+1}{x^3-1}\left[\left(4x^2-1\right)\left(\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{2x+1}+1\right)-5\right]\)

\(=\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\cdot\left[\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\cdot\dfrac{2x+1-2x+1+4x^2-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-5\right]\)

\(=\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\cdot\left(4x^2+1-5\right)\)

\(=\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\cdot\left(4x^2-4\right)\)

\(=\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\cdot4\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(=\dfrac{4\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\)

\(B=-3x^2+4x+1\)

\(=-3\left(x^2-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}\right)\)

\(=-3\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{7}{9}\right)\)
\(=-3\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{7}{3}< =\dfrac{7}{3}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x-\dfrac{2}{3}=0\)

=>\(x=\dfrac{2}{3}\)

Đặt \(x^2+4=a;1-6x=b\)

=>\(a+b=x^2+4+1-6x=x^2-6x+5\)

\(\left(x^2+4\right)^3+\left(1-6x\right)^3=\left(x^2-6x+5\right)^3\)

=>\(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3\)

=>\(\left(a+b\right)^3-\left(a+b\right)^3+3ab\left(a+b\right)=0\)

=>3ab(a+b)=0

=>ab(a+b)=0

=>\(\left(x^2+4\right)\left(1-6x\right)\left(x^2-6x+5\right)=0\)

=>\(\left(1-6x\right)\left(x-1\right)\left(x-5\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}1-6x=0\\x-1=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{6}\\x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Bài 5:

a: \(D=\dfrac{6x}{4x^2-9}-\dfrac{x}{3-2x}+\dfrac{x}{2x+3}-1\)

\(=\dfrac{6x}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\dfrac{x}{2x-3}+\dfrac{x}{2x+3}-1\)

\(=\dfrac{6x+x\left(2x+3\right)+x\left(2x-3\right)-4x^2+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\dfrac{6x+x\left(2x+3+2x-3\right)-4x^2+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\dfrac{6x+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}=\dfrac{3}{2x-3}\)

b: \(D=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{3}{2x-3}=-\dfrac{1}{2}\)

=>2x-3=-6

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\left(loại\right)\)

c: Để D nguyên thì \(3⋮2x-3\)

=>\(2x-3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(x\in\left\{2;1;3;0\right\}\)

Bài 6:

a: \(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2x+4}{4-x^2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{5}{x-3}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right)\cdot\dfrac{x-3+5}{x-3}\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right)\cdot\dfrac{x+2}{x-3}\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+1\right)\cdot\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-2+x+2}{x+2}\cdot\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{2x}{x-3}\)

b: Khi x=-1 thì \(P=\dfrac{2\cdot\left(-1\right)}{-1-3}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}\)

c: \(P=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{1}{3}\)

=>3x=x-3

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\)(nhận)

d: Để P là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}2x⋮x-3\\\dfrac{2x}{x-3}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-6+6⋮x-3\\\dfrac{x}{x-3}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6⋮x-3\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{4;5;6;0;9;-3\right\}\)

Chắc em ghi đề sai

Nếu \(a+b+c=1\) thì \(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{9}{10}\)

Còn \(a+b+c=3\) thì \(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{3}{2}\)

Chứng minh BĐT dưới quá đơn giản chỉ bằng 1 dòng AM-Gm cho mẫu.

Còn BĐT trên thì sử dụng đánh giá (thông qua kĩ thuật UCT):

\(\dfrac{x}{1+x^2}\le\dfrac{36x+3}{50}\)

Nhân chéo quy đồng thì BĐT này tương đương:

\(\left(3x-1\right)^2\left(4x+3\right)\ge0\) (luôn đúng với x dương)

Áp dụng cho a;b;c rồi cộng vế là xong

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\)(BFHD nội tiếp)

\(\widehat{EDH}=\widehat{ECH}\)(EHDC nội tiếp)

mà \(\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)

nên \(\widehat{FDH}=\widehat{EDH}\)

=>DH là phân giác của góc FDE

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD nội tiếp)

mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACD}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD

Xét ΔEFD có

DH,FH là các đường phân giác

DH cắt FH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp của ΔEFD

hay H cách đều ba cạnh của ΔEFD

a: Gọi I là giao điểm của AF và DM

Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

\(DF=FC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình vuông)

nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

=>AF//CE

mà DM\(\perp\)CE

nên DM\(\perp\)AF tại I

Xét ΔDMC có

F là trung điểm của DC

FI//MC

Do đó: I là trung điểm của DM

XétΔADM có

AI là đường cao

AI là đường trung tuyến

Do đó: ΔADM cân tại A