Phương trình hoành độ giao điểm \(\left(d\right)\)và \(\left(P\right)\)là: 

\(x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1-m=0\)(1) 

Để \(\left(d\right)\)cắt \(\left(P\right)\)tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: 

\(\Delta'>0\Leftrightarrow1-\left(1-m\right)>0\Leftrightarrow m>0\).

Khi \(m>0\), (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\). Theo định lí Viete ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=1-m\end{cases}}\)

\(y_1^2+y_2^2=\left(2x_1+m-1\right)^2+\left(2x_2+m-1\right)^2=4x_1^2+4x_2^2+4\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+2\left(m-1\right)^2\)

\(=4\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2+4\left(m-1\right)\left(x_1+x_2\right)+2\left(m-1\right)^2\)

\(=4.2^2-8\left(1-m\right)+4\left(m-1\right).2+2\left(m-1\right)^2\)

\(=4m^2+8m+4=16\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\left(tm\right)\\m=-3\left(l\right)\end{cases}}\)

√14+8√3=

√14+2√48=

√(√8+√6)2=

√8+√6

\(\sqrt{14+8\sqrt{3}}=\sqrt{14+2.2.2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{3}\right)^2+2.2.2\sqrt{3}+4}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}+2\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{3}+2\right|=2\sqrt{3}+2\)

Thế ko cho biết diện tích hay gì thì làm sao làm được bài?

\(\sqrt{21-6\sqrt{6}}=\sqrt{\left(\sqrt{18}\right)^2+2\sqrt{18}\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{18}-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{18}-\sqrt{3}=3\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

\(\sqrt{21-6\sqrt{6}}=\sqrt{\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}=3\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

\(\sqrt{25+4\sqrt{6}}=\sqrt{25+2.2\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{\left(2\sqrt{6}\right)^2+2.2\sqrt{6}+1}=\sqrt{\left(2\sqrt{6}+1\right)^2}\)

\(=\left|2\sqrt{6}+1\right|=2\sqrt{6}+1\)

\(\sqrt{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{17-2.3.2\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{9-2.3.2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|3-2\sqrt{2}\right|=3-2\sqrt{2}\)

Vậy 2 số cần tìm là 8 và 11Gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a,b (a>b)
Theo giả thiết, ta có
a + b = 19 và a^2 + b^2 = 185
=> 2ab = (a+b)^2 - (a^2+b^2) = 176 <=> ab = 88
=> a,b là nghiệm của pt x^2 - 19x + 88 = 0 (*)
(*) <=> (x-11)(x-8) = 0 <=> x= 8 hoặc x = 11
=> (a,b) = (11;8)

\(\sqrt{14-2\sqrt{33}}=\sqrt{14-2\sqrt{3.11}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{11}\right)^2-2\sqrt{3.11}+\left(\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\left|\sqrt{11}-\sqrt{3}\right|=\sqrt{11}-\sqrt{3}\)vì \(\sqrt{11}-\sqrt{3}>0\)

Xét PT hoành độ gđ (d) và (P) :

\(x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-m+1=0\)          (1)

PT (1) có :

\(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-m+1\right)\)

\(=1+m-1=m\)

Để (d) căt (P) tại 2 điểm pb \(A\left(x_1;y_1\right)\)và \(B\left(x_2;y_2\right)\)

=> PT (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow m>0\)

Với m>0, a/d hệ thức Vi-ét cho PT (1) ta đc :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1\cdot x_2=-m+1\end{cases}}\)

Theo đề bài : \(y_1^2+y_2^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^2\right)^2+\left(x_2^2\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2\left(x_1x_2\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2]^2-2\left(x_1x_2\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^4-4\left(x_1+x_2\right)^2\cdot x_1x_2+4\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1x_2\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^4-4\left(x_1+x_1\right)^2\cdot x_1x_1+2\left(x_1x_2\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow2^4-4\cdot2^2\cdot\left(-m+1\right)+2\cdot\left(-m+1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow16+16m-16+2\cdot\left(1-2m+m^2\right)-16=0\)

\(\Leftrightarrow16+16m+2-4m+2m^2=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-12m+18=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-6\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow2m-6=0\)

\(\Leftrightarrow2m=6\)

\(\Leftrightarrow m=3\left(TMĐK\right)\)

Vậy m = 3 là gt cần tìm

Cảm ơn bạn nha :")

Vậy 2 số cần tìm là 8 và 11Gọi 2 số tự nhiên cần tìm là a,b (a>b)
Theo giả thiết, ta có
a + b = 19 và a^2 + b^2 = 185
=> 2ab = (a+b)^2 - (a^2+b^2) = 176 <=> ab = 88
=> a,b là nghiệm của pt x^2 - 19x + 88 = 0 (*)
(*) <=> (x-11)(x-8) = 0 <=> x= 8 hoặc x = 11
=> (a,b) = (11;8)

gọi x là số tự nhiên thứ nhất , y là số tự nhiên thứ hai . (x,y > 0)

tổng của chúng bằng 19

=> x + y = 19

<=> x = 19 - y

tổng các bình phương của chúng bằng 185

=> x^2 + y^2 = 185

<=> (19 - y)^2 + y^2 = 185

<=> 361 - 38y + y^2 + y^2= 185

<=> 2y^2 - 38y + 176 = 0

<=> y = 8 hoặc y = 11

y = 8 => x = 19 - 8 = 11

y = 11 => x = 19 - 11 = 8

vậy hai số tự nhiên đó là 8 và 11