Phương trình có tích hệ số \(ac=-m^2< 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Theo định lí Viete; 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2\end{cases}}\)

\(x_1^2+2x_1x_2+2x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-x_2^2+2x_2=4-x_2^2+2x_2=3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_2=1+\sqrt{2}\\x_2=1-\sqrt{2}\end{cases}}\)

Suy ra \(x_1x_2=\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)=-1\)suy ra \(m=\pm1\).

\(\sqrt{33+20\sqrt{2}}=\sqrt{33+2.5.2\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{25+2.5.2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{\left(5+2\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|5+2\sqrt{2}\right|=5+2\sqrt{2}\)vì \(5+2\sqrt{2}>0\)

\(\sqrt{27+12\sqrt{2}}=\sqrt{3+2.\sqrt{3}.2\sqrt{3}.\sqrt{2}+24}=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+2\sqrt{3}.2\sqrt{6}+\left(2\sqrt{6}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+2\sqrt{6}\right)^2}=\left|\sqrt{3}+2\sqrt{6}\right|=\sqrt{3}+2\sqrt{6}\)

\(\sqrt{x^2-4x+4}-1=3\)

<=> \(\sqrt{\left(x-2\right)^2}=4\)

<=> \(\left|x-2\right|=4\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=4\\x-2=-4\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=6\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy S= {-2; 6}

\(\sqrt{x^2-4x+4}-1=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2\right|=2\)

\(TH1:x\ge2\Rightarrow x=4\left(tm\right)\)

\(TH2:x< 2\Rightarrow x=0\left(tm\right)\)

KL: pt có 2 nghiệm ........

\(\Delta=\left(m-2\right)^2+36>0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Theo định lí Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2-m\\x_1x_2=-8\end{cases}}\)

\(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)=x_1^2x_2^2-4x_1^2-x_2^2+4=x_1^2x_2^2+4x_1x_2+4-\left(4x_1^2+x_2^2+4x_1x_2\right)\)

\(=\left(x_1x_2+2\right)^2-\left(2x_1+x_2\right)^2=\left(-8+2\right)^2-\left(2x_1+x_2\right)^2=36-\left(2x_1+x_2\right)^2\le36\)

Dấu \(=\)khi \(2x_1=-x_2\)suy ra \(m=4\).

\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)

\(\ge2a+\frac{1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)

\(\ge a+\frac{1}{4a}-b+b^2+\frac{3}{4}\)

\(=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=\left(a+\frac{1}{4a}\right) +\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

\(\ge1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Đặt: \(\frac{\left(n-23\right)}{n+89}=\frac{a^2}{b^2}\)(với a,b là 2 số nguyên dương và (a,b)=1)).

Gọi d=(n-23,n+89)\(\Rightarrow n+89-\left(n-23\right)=112⋮d\). Do đó d chỉ có thể có các ước nguyên tố là 2 và 7.

Nếu d chia hết cho 7 thì: Đặt n=7k+2 ( với k là số nguyên dương). Suy ra: \(\frac{\left(n-23\right)}{n+89}=\frac{7k-21}{7k+91}=\frac{k-3}{k+13}\).

Đến đây xét vài trường hợp nữa bài này có dạng tìm k biết \(k+a,k+b\) đều là số chính phương.

Gọi số câu trả lời đúng ở mỗi phần lần lượt là \(a,b\)câu, \(a,b\inℕ^∗;a\le8;b\le10\).

Số câu trả lời sai ở phần A là \(10-2-a=8-a\)(câu).

Tổng số điểm Nam đạt được là: 

\(4a-\left(8-a\right)+6b=49\)

\(\Leftrightarrow5a+6b=57\)

Ta có: \(6\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow6b\equiv b\left(mod5\right)\)mà \(57\equiv2\left(mod5\right)\)nên \(b\equiv2\left(mod5\right)\)

do đó \(b=2\)hoặc \(b=7\).

Thử \(2\)giá trị trên chỉ thu được một nghiệm thỏa mãn là \(\left(a,b\right)=\left(3,7\right)\).

Vậy số câu trả lời đúng của Nam ở mỗi phần lần lượt là \(3,7\)câu.